Differential- und Integralrechnung, Stauentwicklung

Question

in der Differentialrechnung und der Integralrechnung habe ich den Faden verloren. Ich stehe völlig auf den Schlauch, und nun haben wir auch noch diese Aufgabe zur Berechnung bekommen. Ich weiß überhaupt nicht wo ich anfangen soll. Wäre toll, wenn mir hier jemand das noch einmal erklären könnte und mir hierbei helfen würde. Danke.

An einer Autobahnbaustelle wird die Stauentwicklung im Berufsverkehr untersucht. Aus den an einem bestimmten Tag erhobenen Messdaten wird die momentane Änderungsrate der Staulänge (stark vereinfacht) durch die funktion ƒ mit der Gleichung

ƒ(t)=3/4t³-9/2t²+6t , 0 < t< 4

modelliert (t in Stunden, ƒ(t) in Kilometern pro Stunde). Um 6.00 Uhr (t = 0) beginnen sich die Fahrzeuge zu stauen. Der Graph von ƒ ist in Abbildung 1 dargestellt.
a.) Berechnen Sie die Nullstellen von ƒ  und erklären Sie die Bedeutung positiver und negativer Funktionswerte von ƒ im Sachzusammenhang.

b.) Bestimmen Sie rechnerisch die Zeitpunkte, zu denen die Staulänge am schnellsten zunimmt bzw. abnimmt.

c.)
1.)Begründen Sie, warum die Funktion F mit der Gleichung F(t)=3/16t⁴-3/2t³+3t² , 0 < t <4, die Staulänge zum Zeitpunkt t beschreibt.
2.)Berechnen Sie die Staulänge für 6.30 Uhr.
3.)Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 6.30 Uhr bis 7.00 Uhr zunimmt. und geben Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an.
4.)Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge ihr Maximum erreicht, und berechnen Sie diese maximale Staulänge.

Answer 1

a) wenn f die Änderungsrate ist, heißt das:

pos. Funktionswert bei x=a:   Zum Zeitpunkt a wird der Stau länger  ..........

Nullstellen:   t ausklammern und dann auf den Term in der Klammer

eine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen ( Mitternachtsformel,

quadr. Ergänzung, pq-Formel oder so anwenden )

b) schnellste Zu- bzw. Abnahme :  Extremstellen von f

f ' (x) = 0 gibt Kandidaten für Extremstellen von f. Dann mit f ' '
 schauen ob Max oder Min

c) 1.  Die Staulänge muss eine Stammfunktion von f sein,

da f ja die Änderungsrate ist.

F ist die Stammfunktion, die F(0)= 0 liefert.

2.   F ( o,5) ausrechnen

3.  F (1) - F ( 0,5)   ist die Zunahme

und das geteilt durch 0,5 ist die

durchschnittliche Änd.rate

4. max. Staulänge offenbar um nach 2 Stunden, denn danach ist die

Rate negativ.    Also  F (2) ausrechnen.

Comments

Toll, vielen Dank. Das hat mir schon sehr viel weiter geholfen.