Mengendefinition beweisen: (AxB) U ( BxA) = (A U B) x (A U B)

Question

ich hab echt keinen Plan wie ich diese Mengendefinition beweise. Ich weiß, dass Sie falsch ist. (Bzw. nicht allgemein gültig). Setze ich nämlich A = {1} und B = {2}, dann sehe ich, dass die Mächtigkeit der linken Menge größer ist als die der Rechten.

Trotzdem will ich es nicht nur für Zahleneinsetzen beherrschen, sondern auch ohne Zahlen beweisen dass es gilt, oder in diesem Fall dass es eben nicht gilt.

Dazu habe ich folgende Schritte gemacht:

Aufgabenstellung: (AxB) U ( BxA) = (A U B) x (A U B)

Ich sage C = (AUB), dann kann ich auf der rechten Seite "ausmultiplizieren" gemäß dem Dirtibutivgesetz was für kartesische Produkte gilt → (nur Menge auf der rechten Seite des ist-gleich) (A x C) U (B x C)

Eigentlich sehe ich hier schon dass die Mengenidentität nicht äquivalent ist denn (AxB) U (BxA) ≠ (AxC) U (BxC), aber ja dass könnte ich ja schon aus der Angabe sehen.. dann brauche ich es nicht beweisen, also mir ist der "Beweis" nicht direkt genug

sei nun (x,y) (geordnetes Paar) ∈ ((A x C) U (B x C)) so folgt dass (x ∈ A V x ∈ B) Λ (y ∈ A V y ∈ B)

So ab hier bringen meinen nächsten Schritte gar nichts mehr, ich weiß eigentlich gar nicht wo ich hin will außer zu beweisen das der linke Menge = rechte Menge oder eben nicht nur irgendwie krieg ich nie dieses Ergebnis.. vll kann mir jemand helfen, wäre dankbar.

LG

Answer 1

wozu das ganze? Du hast durch dein Gegenbeispiel schon gezeigt, dass diese Behauptung falsch ist, wobei in deinem Beispiel die rechte Menge mehr Elemente besitzt als die linke und nicht umgekehrt.

Natürlich lässt sich das Gegenbeispiel verallgemeinern, aber im grunde würdest du ja die selbe Argumentation verwenden.

Gruß

Comments

hallo und danke für deine schnelle Antwort, du hast natürlich recht, die Mächtigkeit der rechten Menge ist größter.
Wozu das ganze? Nun ja ich habe es noch kein einziges mal geschafft dass ohne Zahlen( eine Identität egal welcher Art) zu beweisen. Ich glaube auch dass es nicht immer mit Zahlen geht (bzw. langsamer/mühsamer als Allgemein), deswegen wäre es ganz gut wenn ich das endlich behirne bzw. zusammenbringe. Außerdem weiß ich nicht ob ich beim Test nicht gefragt werde sowetwas zB. allgemein zu Beweisen. Bzw. eigentlich will ich es einfach können weil ich es besser finde als mit Zahlen. (Ist natürlich nur meine persönliche Meinung)
Könntest du mir helfen und mir das allgemein beweisen mit einer kleinen Erklärung.
Wäre super!

---

???? Die Behauptung ist falsch, was möchtest du da beweisen?

Um zu zeigen, dass eine Behauptung falsch ist reicht ein Gegenbeispiel. Es wäre sinnfrei dir (vor allem in einem Test) diese Möglichkeit zu untersagen.

Wenn du Identitäten von Mengen beweisen willst, dann reichen Beispiele natürlich nicht mehr aus und du musst allgemein vorgehen. Aber dafür solltest du dir eine Aufgabe aussuchen bei der die behauptete Identität wahr ist.

---

Hallo Yaku,

ja ich wusste ja am Anfang nicht ob Sie wahr ist oder falsch die Frage laute widerlegen oder beweisen Sie die Identität. Ich bin nicht mal von alleine draufgekommen Zahlen einzusetzen sondern habe es gleich probiert Allgemein zu beweisen. Deswegen dachte ich allgemein ist der, eben allgemeine, weg um auch raufzukommen ob die Identität wahr oder falsch ist. Wenn ich es mit Zahlen mache kann es doch sein dass ich zufälligerweise genau jene Zahlen oder Mengen nehme für die die Behauptung gilt, aber für alle anderen wäre Sie falsch ohne es zu merken verstehst du meinen Punkt?. Es steht doch nicht dort bei mir: Folgende Identät ist wahr, beweisen sie es!

Sorry ich bin wirklich nicht gut in Mathematik, falls ich wieder etwas falsch verstehe lass es mich bitte wissen.

Vielen Dank und LG