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Sei a>0a>0 und definiere die Folgen (xn),(yn)(x_n),(y_n) durch

x0 : =1,xn+1 : =(xn),yn : =2n(xn1).x_0:=1, x_{n+1}:=\sqrt(x_n), y_n:= 2^n(x_n-1).

Beweise, dasslimnyn=loga \lim_{n\to\infty}y_n=\log a

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fehlt nicht noch irgendein Bezug zu a in den Defintionen der Folgen?

Gruß

Das ganze soll offensichtlich auf n(an1)lnan(\sqrt[n]{a}-1)\to\ln a mit n=2mn=2^m rauslaufen. Dazu sollte dann x0=ax_0=a sein. Das waere auch mein Tipp zur Lösung.

ja x0 sollte gleich a sein habe ich oben falsch geschrieben.

Und? Hast Du noch irgendwelche konkreten Fragen zur Aufgabe?

ja wie kommst du auf deinen Ausdruck?

Also n*(.....) --> ln a?

Es ist axlna=dax/dx=axlimh0(ah1)/ha^x\ln a=da^x/dx=a^x\lim_{h\to0}(a^h-1)/h. Mit h=1/nh=1/n kommt das von oben raus.

dazu benötigst du aber die ableitung, die dürfen wir dazu nicht gebrauchen.

Siehe es so: Etwas von dem wenigen, das Du benutzen darfst, muss zur Lösung fuehren -- und zwar ohne dass man ein Einstein sein muesste. :)

Spontan faellt mir noch ax=n=0(loga)nn!xna^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\log a)^n}{n!}x^n ein. Auch daraus folgt limx0ax1x=loga.\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\log a.

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