Sei a>0a>0a>0 und definiere die Folgen (xn),(yn)(x_n),(y_n)(xn),(yn) durch
x0 : =1,xn+1 : =(xn),yn : =2n(xn−1).x_0:=1, x_{n+1}:=\sqrt(x_n), y_n:= 2^n(x_n-1).x0 : =1,xn+1 : =(xn),yn : =2n(xn−1).
Beweise, dasslimn→∞yn=loga \lim_{n\to\infty}y_n=\log an→∞limyn=loga
fehlt nicht noch irgendein Bezug zu a in den Defintionen der Folgen?
Gruß
Das ganze soll offensichtlich auf n(an−1)→lnan(\sqrt[n]{a}-1)\to\ln an(na−1)→lna mit n=2mn=2^mn=2m rauslaufen. Dazu sollte dann x0=ax_0=ax0=a sein. Das waere auch mein Tipp zur Lösung.
ja x0 sollte gleich a sein habe ich oben falsch geschrieben.
Und? Hast Du noch irgendwelche konkreten Fragen zur Aufgabe?
ja wie kommst du auf deinen Ausdruck?
Also n*(.....) --> ln a?
Es ist axlna=dax/dx=axlimh→0(ah−1)/ha^x\ln a=da^x/dx=a^x\lim_{h\to0}(a^h-1)/haxlna=dax/dx=axlimh→0(ah−1)/h. Mit h=1/nh=1/nh=1/n kommt das von oben raus.
dazu benötigst du aber die ableitung, die dürfen wir dazu nicht gebrauchen.
Siehe es so: Etwas von dem wenigen, das Du benutzen darfst, muss zur Lösung fuehren -- und zwar ohne dass man ein Einstein sein muesste. :)
Spontan faellt mir noch ax=∑n=0∞(loga)nn!xna^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\log a)^n}{n!}x^nax=n=0∑∞n!(loga)nxn ein. Auch daraus folgt limx→0ax−1x=loga.\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\log a.x→0limxax−1=loga.
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