Beweise dass lim yn= log a

Question

Sei $$a>0$$ und definiere die Folgen $$(x_n),(y_n)$$ durch 

$$x_0:=1, x_{n+1}:=\sqrt(x_n), y_n:= 2^n(x_n-1).$$

Beweise, dass$$ \lim_{n\to\infty}y_n=\log a$$

Comments

fehlt nicht noch irgendein Bezug zu a in den Defintionen der Folgen?

Gruß

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Das ganze soll offensichtlich auf \(n(\sqrt[n]{a}-1)\to\ln a\) mit \(n=2^m\) rauslaufen. Dazu sollte dann \(x_0=a\) sein. Das waere auch mein Tipp zur Lösung.

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ja x₀ sollte gleich a sein habe ich oben falsch geschrieben.

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Und? Hast Du noch irgendwelche konkreten Fragen zur Aufgabe?

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ja wie kommst du auf deinen Ausdruck?

Also n*(.....) --> ln a?

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Es ist \(a^x\ln a=da^x/dx=a^x\lim_{h\to0}(a^h-1)/h\). Mit \(h=1/n\) kommt das von oben raus.

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dazu benötigst du aber die ableitung, die dürfen wir dazu nicht gebrauchen.

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Siehe es so: Etwas von dem wenigen, das Du benutzen darfst, muss zur Lösung fuehren -- und zwar ohne dass man ein Einstein sein muesste. :)

Spontan faellt mir noch $$a^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\log a)^n}{n!}x^n$$ ein. Auch daraus folgt $$\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\log a.$$