Sind die Rechenschritte für die Überprüfung von 1/k! auf Konvergenz mit Hilfe des Quotientenkriteriums korrekt?

Question

sind die Rechenschritte für die Überprüfung von $$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } $$ auf Konvergenz mit Hilfe des Quotientenkriteriums korrekt?

$$ \frac { \frac { 1 }{ k!+1 }  }{ \frac { 1 }{ k! }  } =\frac { 1 }{ (k!+1) } *\frac { k! }{ 1 } =\frac { k! }{ k!+1 } =k!(\frac { 1 }{ k!+1 } )\underrightarrow { k!\rightarrow \infty  } =0 $$
Danke

Answer 1

Hi, Dein \( a_k \) ist \( a_k = \frac{1}{k!} \) demzufolge gilt \( a_{k+1} = \frac{1}{(k+1)!} \) und nicht \( a_{k+1} = \frac{1}{k!+1} \)

Comments

Stimmt es jetzt?

$$ \frac { \frac { 1 }{ (k+1)! }  }{ \frac { 1 }{ k! }  } =\frac { k! }{ (k+1)! } =k!(\frac { 1 }{ (k+1)! } )\underrightarrow { k\rightarrow \infty  } =0 $$

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$$ \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{1}{k+1} \to \infty  $$

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Kannst du bitte diesen Schritt veranschaulichen? Wieso kann man hier kürzen? Verstehe ich nicht ganz.

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$$  \frac{k!}{(k+1)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdots (k-1) \cdot k}{1 \cdot 2 \cdots (k-1) \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{1}{k+1} $$