Prüfen von (-1)^k*2^k auf Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums

Question

welches Ergebnis stimmt für die folgende Aufgabe?

Prüfen von $$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ k } } *{ 2 }^{ k } $$ auf Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums.

Profs Rechnung: $$ \sqrt [ k ]{ { 2 }^{ k } } =2 $$

Meine Rechnung: $$ \sqrt [ k ]{ { (-1) }^{ k }*{ 2 }^{ k } } ={ ({ (-1) }^{ k }*{ 2 }^{ k }) }^{ \frac { 1 }{ k }  }={ { ((-1) }^{ k }) }^{ \frac { 1 }{ k }  }*{ { (2 }^{ k }) }^{ \frac { 1 }{ k }  }=-2 $$

Während ich diese Aufgabe hier geschrieben habe, ist mir aufgefallen, dass unter der Wurzel noch das Betragszeichen steht. Also erhalte ich auch 2 aber wie sollten die Zwischenergebnisse korrekt dargestellt werden?

Danke

Answer 1

\( \limsup \limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} =\limsup \limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{2^k} = 2 > 1 \\ \Rightarrow \text{Reihe divergent.}\)

Was man ja aber auch schon daran erkennt, dass die Folge \(a_k\) keine Nullfolge ist.

Gruß