Lineare Algebra: Vektorräume:

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:
"SeI M nichtleere Menge und K Körper. Sei V:= Abb(M,K) die Menge aller Abbildungen von M nach K. Weiterhin betrachten wir V als K-Vektorraum  (U und W sind Untervektorräume von V). Für m ∈ M sei e_m ∈ V = Abb(M,K) definiert durch

e_m(x) = { 1_k für x = m, 0_k für x ≠ m.

a) Die Menge S:= {e_m | m ∈ M } ⊆ V ist linear unabhängig,
b) Ist M endliche, so ist S eine Basis von V,
c) Ist M unendlich, so ist S keine Basis von V.

Hoffe jemand kann weiterhelfen, Grüße

Answer 1

a) Sei L⊆S endlich und φ=∑_m∈La_me_m mit a_m∈K. Ist a_m≠0_K für ein m∈L, Dann ist φ(m)≠0_K und somit φ≠0_V.

b) ist trivial.

c) Sei φ: M↦K, m↦1_K. Ferner sei L⊆S endlich. Dann ist φ nicht im Erzeugnis von L, da für jedes ψ∈<L> nur endliche viele m∈M mit ψ(m)=1 existieren,

Comments

Danke oswald :-)

Eine Frage: Wieso ist b) trivial?

Grüße

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b) φ = ∑_m∈M φ(m)e_m ∀φ∈V.

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Kannst du nochmal explizit schreiben, warum S jetzt linear unabhängig ist?

Answer 2

   Zu a) In einer Linearkombination ( LK )  dürfen nur endlich viele Komponenten ungleich Null sein. Im Folgenden werde die ===> Einsteinsche Indexkonvention voraus gesetzt. Betrachten wir die Abbildung




    E  :=  ß  (  i  )  e  (  i  )  €  V    ;  ß  (  i  )  €  K         (  1a  )

              ß  (  i  )  e  (  i  )  =  0     (  1b  )



   
      D.h.




            (V)  i  |  E  (  i  )  =  0     (  2a  )


    
      Nun ist  aber




         E  (  i  )  =  ß  (  k  )  e  (  k  )  (  i  )  =       (  3a  )

                       =  ß  (  k  )  DELTA  (  k  ;  i  )  =     (  3b  )
                     
                       =  ß  (  i  )  =  0     (  3c  )     



     Jetzt sagst du, du siehst b) nicht ein. Hier ich weiß schon, was du für ein Kantonist bist; wetten dass du bis auf den heutigen Tag noch kein einziges Mal in Wiki nachgesehen hast, was eine Basis sein könnte? Und ich bin verwöhnt durch Kowalsky und Greub. Schreib dirs hinter die Ohren; das wird deine nächste Strafarbeit. Richtig auswändig lernen so, wie das bei Strafarbeiten seit Je üblich ist:

   SATZ und DEFINITION
  ============================


   Eine Basis ist, wenn eine der unten folgenden 4 äquivalenten Definitionen vorliegt:

   1) eindeutig Erzeugendes
   2)  minimales Erzeugendes
   3) linear unabhängiges Erzeugendes
   4) maximales linear Unabhängiges

  ===============================================


    Jetzt erhebt sich also die schicksalsschwere Frage; für welche dieser vier Möglichkeiten entscheiden wir uns? Die Drei lacht mich so freundlich an; linear unabhängig hatten wir gerade bewiesen. Bliebe demnach nur noch Erzeugendes. Stell dir vor, E sei definiert durch die Vorschrift




     E  :  M  ===>  K       (  4a  )

             i  ===> ß  (  i  )      (  4b  )



    Dann haben wir im Prinzip doch schon in ( 3a-c ) eingesehen, dass E die LK darstellen muss, die in ( 1b ) angeschrieben wurde; es ist nochmal die selbe Rechnung.

  Und was ist die Schwierigkeit hinter Punkt c) ? Genau, dass eine LK immer aus einer endlichen Summe bestehen muss. Führen wir folgende Redefinition ein. Die Elemente der Menge M kannst du zur Not identifizieren mit ===> Ordinalzahlen; soll sehr nützlich sein, hab ich gehört. Sagen wir die ersten n kommen in unserer LK vor. Du identifizierst demnach die Basiselemente in ihrer lexikalischen Reihenfolge mit den Zahlen 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 . So. Und dann wird bereits Element n € M von unserer LK auf die Null abgebildet; d.h. bei jeder LK gibt es ein Element, das nur die Null als Bildpunkt hat.