(x+1)/(x-1)<=x, wie umstellen?

Question

So dass dort x<= oder x>= steht!! Bitte um hilfe ich schaffe es nicht ;)

Answer 1

Hier meine Berechnungen

Es kommt also heraus.
x > 2.41
und
-0.41 < x < 1

Hier die Skizze

( alles was oberhalb der x-Achse ist gehört zur Lösungsmenge )

~plot~ x - ( x + 1 ) / ( x -1 ) ~plot~

Comments

Sehr gut erklärt!

Answer 2

x darf nicht 1 sein.

Umformen der Gleichung: multiplizieren mit (x-1), darauf folgt eine Fallunterscheidung fall x<1 dann wird aus <= ein >= und falls x>1 bleibt <= bestehen (siehe Multiplikation mit negativen Zahlen bei Ungleichungen).

Auflösen der Gleichung...

usw.

Comments

Kannst du das mit der Fallunterscheidung vielleicht etwas genauer erklären?

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georgborn hat mit einer kompletten Rechnung geantwortet, daher nur grob gesagt, bei Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl ändert sich das Vorzeichen, daher muss immer geprüft werden, ob der Multiplikator negativ ist oder nicht und ggfs. eine Fallunterscheidung für den negativen bzw. positiven Fall durchgeführt werden.

Gruß

Answer 3

Alternativ ohne Fallunterscheidung: Für \(x\ne1\) gilt
$$\frac{x+1}{x-1}\le x\Leftrightarrow (x+1)(x-1)\le x(x-1)^2\Leftrightarrow0\le(x-1)(x^2-2x-1).$$

Comments

wie kommst du von Schritt 2 auf Schritt 3 ?

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\((x+1)(x-1)\) subtrahieren und anschließend \(x-1\) ausklammern.

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Gut. Wie geht es jetzt weiter
- doch Fallunterscheidung minus * minus oder plus * plus

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Nullstellen der Funktion \(q(x)=(x-1)(x^2-2x-1)\) berechnen und der Größe nach sortieren sowie elementare Kenntnisse über kubische Funktionen anwenden, bzw. das Schaubild von \(q\) betrachten.