Gleichung entsprechend eines Ausdrucks umstellen

Question

Aufgabe:

die Aufgabe sei es zu zeigen, dass für die Funktion

$$(\Omega+\frac{u}{R})R^2=(\Omega+\frac{u+\delta u}{R+\delta R})(R+\delta R)^2$$

-> $$\delta u = -2\Omega \delta R - u\frac{\delta R}{R}$$ gilt, sonfern man Differentiale 2. Ordnung vernachlässigt. Aber egal wie ich rechne, ich komme nicht auf diesen Ausdruck.

Problem/Ansatz:

Hier ist meine Rechnung:

$$(\Omega+\frac{u}{R})R^2=(\Omega+\frac{u+\delta u}{R+\delta R})(R+\delta R)^2$$

$$\frac{\Omega R^2+uR}{(R+\delta R)^2}=(\Omega+\frac{u+\delta u}{R+\delta R})$$

$$\frac{\Omega R^2+uR}{R^2+2R\delta R+ \delta^2R^2}=\Omega+ \frac{u}{R}+\frac{u}{\delta R}+\frac{\delta u}{R} + \frac{\delta u}{\delta R}$$

Der zweite Term in Bruch auf der linken Seite ist ein Differential 2. Ordnung, kann also weggelassen werden..

$$\frac{\Omega R^2+u}{R^2+2R\delta R}=\Omega+ \frac{u}{R}+\frac{u}{\delta R}+\frac{\delta u}{R} + \frac{\delta u}{\delta R}$$

$$\frac{\Omega R^2+uR}{R^2+2R\delta R}-\Omega- \frac{u}{R}-\frac{u}{\delta R}=\frac{\delta u}{R} + \frac{\delta u}{\delta R}$$

$$\frac{\Omega R^2+uR}{R^2+2R\delta R}-\Omega- \frac{u}{R}-\frac{u}{\delta R}=\delta u(\frac{1}{R} + \frac{1}{\delta R})$$

$$\frac{\Omega R^3+uR^2+\Omega R^2 \delta R +uR\delta R}{R^2+2R\delta R}-\Omega R- \Omega \delta R-u-\frac{u\delta R}{R}-\frac{uR}{\delta R}-u = \delta u$$

$$\frac{\Omega R^2+uR+\Omega R \delta R +u\delta R}{R+2\delta R}-\Omega R- \Omega \delta R-u-\frac{u\delta R}{R}-\frac{uR}{\delta R}-u = \delta u$$

$$\Omega R + u + \frac{u\delta R}{R} + \frac{\Omega R^2}{2\delta R}+ \frac{uR}{2\delta R }+ \frac{\Omega R}{2}+\frac{u}{2}-\Omega R- \Omega \delta R-u-\frac{u\delta R}{R}-\frac{uR}{\delta R}-u = \delta u$$

Und egal wie ich jetzt versuche hier irgendwas wegzubekommen, ich komme nicht auf den angegeben Ausdruck. Wo liegt mein Fehler?

Comments

In der Formel wurde einfach nur \(u\) durch \((u+\delta u)\) und \(R\) durch \((R+\delta R)\) ersetzt.

Der Sinn dahinter ist mir nicht klar, was sollst du genau zeigen?

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Die Formel bezieht sich auf die Drehimpulserhaltung. Nach entsprechender Umformung soll gezeigt werden, dass der genannte Ausdruck gilt.

Answer 1

Aloha :)

Nach Beantwortung meiner Nachfrage scheint mir die Aufgabenstellung nun klar.

Bei dem Term auf der linken Seite handelt es sich um eine Erhaltungsgröße. Daher behält seinen Wert bei, wenn man \(u\) durch \((u+\delta u)\) und \(R\) durch \((R+\delta R)\) ersetzt.

Mit Hilfe der resultierenden Gleichung soll ein Term für \(\delta u\) gefunden werden unter der Voraussetzung, dass Differentiale 2-ter Ordnung vernachlässigt werden.

Wir rechnen zunächst die Klammern aus$$\left(\Omega+\frac{u}{R}\right)R^2=\left(\Omega+\frac{u+\delta u}{R+\delta R}\right)(R+\delta R)^2$$$$\Omega R^2+uR=\Omega(R+\delta R)^2+(u+\delta u)(R+\delta R)$$$$\blue{\Omega R^2}+\red{uR}=\blue{\Omega R^2}+\Omega\,2R\delta R+\Omega(\delta R)^2+\red{uR}+R\delta u+u\delta R+\delta u\,\delta R$$

Terme, die auf beiden Seiten vorkommen, heben sich weg:$$0=2\Omega R\delta R+\Omega\pink{(\delta R)^2}+R\delta u+u\delta R+\pink{\delta u\,\delta R}$$

Nun vernachlässigen wir die Differentiale 2-ter Ordnung:$$0=2\Omega R\delta R+R\delta u+u\delta R\quad\big|-R\delta u$$$$-R\delta u=2\Omega R\delta R+u\delta R\quad\big|\div(-R)$$$$\delta u=-2\Omega\,\delta R-\frac{u\,\delta R}{R}$$