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Die Aufgabe war, dass man das charakteristisches Polynom aufstellen soll

und

b)Eigenwerte mit der algebraischen Vielfachheit ebenfalls berechnen soll

Ich habe mir vieles im Internet gelesen und gesehen,dass ein Taschenrechner für charakteristisches Polynom und Eigenwerte gibt.

Aber ich versteh nicht ,wie man auf die Ergebnisse kommt und bitte um eure Hilfe,mir die Aufgabe mit einem Rechenweg zu zeigen.

Vielen Dank

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die Variable e soll für die Eigenwerte der Matrix A stehen.

Die Eigenwerte von A, sind die Zahlen, die die Gleichung  A • \(\vec{x}\) = e • \(\vec{x}\)  erfüllen.

Du erhältst eine Matrix C, indem du e von allen Elementen der Hauptdiagonalen von A  subtrahierst.

( in deinem Beispiel steht dann in der Hauptdiagonalen überall  -a )

Die Determinante von C ergibt dann ein Polynom mit der Variablen e, das sogenannte "charakteristische Polynom"  von A.

In deinem Beispiel ergibt sich  e4 - 4e2 = e2 • (e-2) • (e+2)

Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Eigenwerte von A mit den entsprechenden Vielfachheiten.

In deinem Beispiel ergeben sich  e1 = 0 ; e2 = 2 ;  e3 = -2

Für jeden einzelnen Eigenwert  erhältst du die Eigenvektoren \(\vec{v_k}\) jeweils 

als Lösung der Gleichung      • \(\vec{x}\)  = \(\vec{0}\) 

In deinem Beispiel (mit a,b ∈ℝ): 

 e1 = 0:       \(\vec{v_k}\)   =  (a,b,a,b)T         [ (a,b) ≠ (0,0) ]

e2 = 2:        \(\vec{v_k}\)   =  (a,a,a,a)T       [ a ≠ 0 ] 

e3 = -2:       \(\vec{v_k}\)  =  (-a,a,-a,a)T      [ a ≠ 0 ]

Gruß Wolfgang

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