Endliche Gruppe mit n Elementen. Zeige es gilt a^n = e für alle a ∈ G

Question

mein Gruppenleiter meinte das geht am einfachsten mit dem Satz von Langrange

aber ich weiss jetzt nicht welche Eigenschaft die Untergruppe H von G haben würde, damit

sich daraus a^n = e beweisen lässt.

Comments

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/172368/endliche-gruppe-beweise-alle-element-existiert-element-mit

Beachte: Es ist nicht exakt die gleiche Behauptung. 

Answer 1

Die Ordnung ord(a) eines Elements a einer Gruppe ist definiert als die Mächtigkeit der von a erzeugten Untergruppe, d.h. ord(a):= | <a> |.

Damit gilt nach Lagrange ord(a) | n, also n=k * ord(a) für irgendein natürliches k.

Damit ist \( a^n=a^{k*ord(a)}=(a^{ord(a) )^k=e^k=e \).