Vollständige Induktion (1/(k^k)) <= (1/2)^{k-1}

Question

ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter

(1/(k^k)) <= (1/2)^{k-1}

den Induktionsanfang mit k=1 habe ich bereits erledigt. Bin jetzt bei

(1/(k+1)^{k+1} <= (1/2)^{k+1-1}... will von der rechten Seiten jetzt auf die linke kommen... Nur fehlt mir komplett der Ansatz. Soll ich erweitern, die Potenz auseinanderziehen? vieles probiert, immer kam völliger Käse raus, kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Am besten auseinanderziehen und abschätzen:

(1/(k+1)^k+1 = 1/( (k+1)^k * (k+1) )

weil k+1 > k ist, ist  1/ (k+1) <  1/ k

also   1/( (k+1)^k   <  1/ k^k  und wegen Induktionsvor.  ≤ (1/2)^k-1      

also geht es bei # weiter mit

<  (1/2)^k-1      * 1/(k+1)    und   1/(k+1)  ≤ 1/2  da   k≥1

≤   (1/2)^k-1      *(1/2)  =   (1/2)^k    Bingo!