\( \sum \limits_{k=2^{n-1} +1}^{2^{n}}\frac{1}{k}\)
hat 2^(n-1) Summanden; denn 2^(n-1) ist ja
genau die Hälfte von 2^n , also sind es von 2^(n1) + 1
bis 2^n genau 2^(n-1) Stück.
Die werden immer kleiner, der größte ist also 1/ (2^(n-1)+1)
Also ist die ganze Summe kleiner oder gleich
Anzahl * größer Werte eines Summanden
= 2^(n-1) * 1/ (2^(n-1)+1)
Und wenn man den Nenner kleiner macht ,
wird ja der Bruch größer, also gilt
< 2^(n-1) * 1/ 2^(n-1) = 1.