Konzentration eines Medikaments im Blut: f(t)= 0.16t / (t+2)^2

Question

Ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe hier (Bild hoffentlich im Anhang).

Ich habe bereits alte Threads zu einer ähnlichen Aufgabe gefunden, die mir aber meine Fragen nicht beantworten konnte.

Die Aufgabe 16.

Ich habe die Ableitung f'(t) bereits, aber erscheint mir etwas unsicher. Ich bekomme trotzdem bei f'(0) immer 0,04 raus, egal welcher.

Habe mich jetzt am meisten mit

f'(t)= 0,32 - 0,16 t / (t + 2)³

Angefreundet. [ geht auch f'(t)=0,16(4-t^2) / (t+2)^4 ? ]

Als nächstes soll ich die Anfängliche Änderungsrate bestimmen. Ich hab jetzt für t --> 0 eingesetzt und bekomme "0,04" raus. Sofern das richtig ist, fangen erst jetzt meine Probleme an. Wie soll ich den Rest machen? Für f die Werte [3,6] einsetzen oder für f'?

f(6) - f(0) / 6?  Ich hab mich grad irgendwie verlaufen. Wäre nett wenn es hier schnelle und ausführliche antworten geben würde. Schließlich will ich lernen und nicht mich vor Hausaufgaben drücken [und Nein: das sind keine ;) ]

Freue mich auf jegliche konstruktive Hilfe

Comments

Ich hab da mal eine frage wieso wird ändert sich die Rechnung also von

0,16 t/(t+2)^2

Zu

0,16 2-t/(t+2)^3

Woher kommt das 2- und die ^3 ?

Danke jetzt schon für die Antworten

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Die 2.Gleichung ist die Ableitung der 1. Gleichung.
Außerdem muß es heißen
0,16 * ( 2-t ) / (t+2)³

Beim Ableiten wird die Quotientenregel verwendet und dann gekürzt.
Siehe die ersten 4 Zeilen meiner Antwort

mfg Georg

Answer 1

f'(t)= 0,32 - 0,16 t / (t + 2)³

Angefreundet. [ geht auch f'(t)=0,16(4-t²) / (t+2)⁴ ? ]

stimmt beides, das erste ist gekürzt, erscheint also günstiger

Als nächstes soll ich die Anfängliche Änderungsrate bestimmen. Ich hab jetzt für t --> 0 eingesetzt und bekomme "0,04" raus.

Ist auch richtig. Sogar t=0 macht Sinn.

Sofern das richtig ist, fangen erst jetzt meine Probleme an.

Wie soll ich den Rest machen? f '(3)  und f '(6) berechnen.

mittlere Änderungsrate in den ersten 6 Minuten

( f(6) - f(0) ) / ( 6 - 0 )   ausrechnen.  Na klar, hast du ja.

f(6) - f(0) / 6?  Ich hab mich grad irgendwie verlaufen. Wäre nett wenn es hier schnelle und ausführliche antworten geben würde. Schließlich will ich lernen und nicht mich vor Hausaufgaben drücken [und Nein: das sind keine ;) ]

Comments

Wäre die mittlere Änderungsrate nicht vielleicht f'(6)-f'(0)/6?

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Also ich rechne einfach stur f'(3;6) aus und dann noch

f(6) -f(0) / 6. ??! Ist also letzteres meine mittlere Änderungsrate? Soll ich dann nur noch vergleichen im Sinne von: f'(0) = 0,04 während die mittlere Änderungsrate natürlich was anderes ist und irgendwelche Schlüsse ziehen?

Answer 2

Hier meine Berechnungen

blau ist die Funktion ; rot ist die Änderungsrate

Comments

Danke für die schriftliche Antwort. Nur Ich hätte noch ein paar Fragen dazu :

Bei dem Teil mit der "mittleren Änderungsrate",  wie könnte man das... "präziser" schreiben, sodass es in einer Klausur auch akzeptiert wird und sodass man bereits am Hinsehen erkennt was gemacht wurde.

Die andere Frage wäre: Inwiefern soll ich die Ergebnisse vergleichen?  Soll ich daraus irgendwelche Schlüsse ziehen auf die Aufgabenstellung (Medikament im Blut)?

Liebe Grüße

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Die Änderungsrate ist die 1.Ableitung einer Funktion
und damit die Steigung der Funktion.

Das erste Bild zeigt dir eine beliebige Änderungsrate.

Die mittlere Steigungsrate ergibt sich wenn ich die Fläche unterhalb
der Kurve berechne und dann ein flächengleiches Rechteck berechne.
Der Wert in y-Richtung ist die mittlere Steigungsrate.

Änderungsrate
h ´ ( x ) 

Stammfunktion
∫ h ´ ( x ) dx
Fläche
∫ h ´ ( x ) dx   zwischen x1 und x2

Mittlere Änderungsrate ( Rechteck )
h ´( mittel )
Fläche = h´( mittel ) * ( x2 - x1 )
h ´( mittel ) = Fläche / ( x2 - x1 )

Die Stammfunktion ist
∫ h ´ ( x ) dx  = h ( also die Ausgangsfunktion )

Die Fläche
[ h ]_x1^x2
h ( x2 ) - h ( x1 )
Mittlere Änderungsrate
( h ( x2 ) - h ( x1 ) ) / ( x2 - x1 )
= Δ y / Δ x der Ausgangsfunktion

Einfacher : wenn ich eine Funktion habe dann ist die
mittlere Steigung zwischen 2 Punkten
m =  ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) =  Δ y / Δ x

Hier : ( ( f ( 6 ) - f ( 0 ) ) / ( 6 - 0 )
( 0  | 0 )  ( 6  | 0.015 )
( 0.015 - 0 ) / ( 6 - 0 )
0.0025 ( mg / cm^3 ) / min

Du sollst nicht unwissend sterben und insbesondere diese
Aufgabe ( oder ähnliche ) auch verstehen und selbst lösen können.

Also : bei Bedarf weiter fragen.