Änderungsrate der Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten (Ableitungen, Ableitungsregeln)

Question

Die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten wird durch die Funktion K mit K= (0,16t)/(t+2)^2

beschrieben (t in Jahren seit der Medikamenteneinnahme, K(t) in mg/cm^3).

a) Berechne die anfängliche momentane Änderungsrate der Konzentration und vergleiche diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten sechs Minuten.

b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Konzentration am höchsten? Wie groß ist die maximale Konzentration? Wann ist dei Konzentration auf die Hälfte des Maximalwertes gesunken?

Vielen vielen Dank für eure Hilfe es wäre sehr nett, wenn ihr es einfach erklärt, sodass man es auch gut verstehen kann.

Danke an alle die versuchen zu helfen!

Comments

  bis du dir sicher das t in Jahren einzusetzen ist ?

  mfg Georg

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K(t)= (0,16t)/(t+2)2

beschrieben (t in Jahren seit der Medikamenteneinnahme, K(t) in mg/cm3).

 

hatte ich vergessen tut mir leid

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dies ist der Graph der Funktion

Bei 2 ist die höchst Konzentration vorhanden.
Das ein Medikament nach 1-maliger Einnahme nach 2 Jahren
die höchste Konzentration aufweist halte ich für unwahrscheinlich.
Ich biete dir für t als Einheit Minuten oder Stunden an

mfg Georg

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georgborn hat hier völlig recht. Die Einheit t in Jahren macht eigentlich keinen Sinn. t in Stunden würde mehr Sinn machen.

Ich habe trotzdem bei der beantwortung mal mit Jahren gerechnet.

Answer 1

k(t) = 0.16·t/(t + 2)²

k'(t) = 4·(2 - t)/(25·(t + 2)³)

a) Berechne die anfängliche momentane Änderungsrate der Konzentration und vergleiche diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten sechs Minuten.

Wenn t wirklich in Jahren gerechnet wird:

k'(0) = 1/25 = 0.04

(k(6/(60*24*265.25)) - k(0)) / (6/(60*24*265.25)) = 0.03999937166 

b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Konzentration am höchsten? Wie groß ist die maximale Konzentration? Wann ist die Konzentration auf die Hälfte des Maximalwertes gesunken?

k'(t) = 4·(2 - t)/(25·(t + 2)³) = 0 
(2 - t) = 0 
t = 2

k(2) = 0.16·2/(2 + 2)² = 0.02

k(t) = 0.16·t/(t + 2)² = 0.01 
t = 11.65685424

Skizze:

Comments

Ich sollte t in Stunden ausrechnen ist mir grade aufgefallen ihr hattet beide recht tut mir leid ich war gestern neben der Spur wie ändert sich jetzt sie Rechnung?

Answer 2

  ich biete einmal die Lösungen für die Zeit in Minuten an.

t = 0.34 min Konzentration noch steigend
t = 11.66 min Konzentration fallend

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

Comments

Meinst du wirklich ein Medikament ist nach 2 Minuten mit der höchsten Konzentration und nach 11 Minuten wieder bis zur Hälfte abgebaut.

Ich denke ja das t in Stunden am meisten Sinn macht. Aber dann kann der Fragesteller jetzt mal zeigen ob er es verstanden hat und eventuell eine Lösung für t in Stunden machen.

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Ich werde mir morgen alles in Ruhe angucken schonmal vielen


Ich wende mich an euch, falls ich noch etwas nicht verstehe okay?


Danke nochmal!

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@mathecoach

Ich war von der Formulierung

" Die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten
( Einheit mg/cm^3 ) "  ausgegangen Bei der  Verabreichung des
Medikaments als Spritze wäre die max.Konzentration
nach 2 min vielleicht denkbar ( bin allerdings kein Arzt ).

" Berechne die anfängliche momentane Änderungsrate der Konzentration
und  vergleiche diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten sechs
Minuten. "  Könnte auch für Minuten als Zeiteinheit sprechen.

  Vielleicht kann uns der Fragesteller ja aufklären.

  mfg Georg

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Ich sollte t in Stunden ausrechnen ist mir grade aufgefallen ihr hattet beide recht tut mir leid ich war gestern neben der Spur wie ändert sich jetzt sie Rechnung?

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Eigentlich ändert sich nur bei a die Rechnung weil du die 6 Minuten dann auf Stunden umrechnen musst. 6 Minuten sind aber genau 0.1 Stunden.

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Okay das bedeutet, dass ich bei der mittleren Änderungsrate statt der 6 im Nenner mit 0,1 rechnen oder?

Danke schonmal für die tolle Hilfe!

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Ich habe eine Frage zu folgendem Zwischenschritt:

 

=0,16(t+2)-0,32t/(t+2)^3

=0,32-0,16t/(t+2)^3    wo bleibt (t+2) an dieser Stelle? müsste es durch das wegfallen nicht 0,32-0,16t/(t+2)^2 sein?

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okay

die Frage habe ich mir grad selbst beantwortet Ich habe eine Frage zu folgendem Zwischenschritt:


=0,16(t+2)-0,32t/(t+2)3

=0,32-0,16t/(t+2)3    wo bleibt (t+2) an dieser Stelle? müsste es durch das wegfallen nicht 0,32-0,16t/(t+2)^2 sein?

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[ 0,16 ( t+2 ) - 0,32 t ] / ( t+2 )³   l so heißt es mit der kompletten Klammerung
[ 0,16 * t + 0.16 * 2  - 0,32 t ] / ( t+2 )³  l 1.Klammer ausmultipliziert
[ 0.32  - 0,32 t  + 0.16 * t ] / ( t+2 )³
[ 0.32  - 0,16 t ] / ( t+2 )³  l im Nenner hat sich nichts geändert

mfg Georg

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okay vielen Dank und da ich ja in Stunden rechnen muss muss ich doch nur bei der mittleren Änderungsrate statt durch 6 im Nenner durch 0.1 rechnen oder?

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Ich kappiere es grade alles!

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eine Abschlussfrage: Wie machst du diesen Zwischenschritt: bei deinem zweiten Rechenzettel:

 

Ich verstehe nicht, wo (t+2)^3 hingeht?

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Ein Bruch A/B wird Null wenn A null wird. B darf ohnehin nicht null werden.

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Der Mathecoach hat die Antwort gegeben.
Falls gewünscht kann ich auch die ganze Antwort für
Stunden nochmals komplett einstellen.
Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg