Nullstellen n>=4, komplexe Zahlen

Question

 

ich habe in meiner Aufgabe jeweils drei Polynome gegeben: 

(a) mit Grad 4 und einer Nullstelle, (b) mit Grad 5 und (c) mit Grad 6 und 2 Nullstellen. 

Wir hatten in der Vorlesung mal Ferrari angeschnitten/besprochen und da wollte ich die (a) mit eben diesen Verfahren machen, allerdings habe ich es in der Vorlesung nicht verstanden und im Internet finde ich auch keine passende "Anleitung" dazu. 

Kann mir jemand das Verfahren (anhand eines Beispiels) erklären ? Oder vielleicht brauche ich es ja nicht, da ich schon eine Nullstelle gegeben habe ?

Comments

weiß hier vielleicht noch jemand etwas ?

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Zu was? Du hast nicht mal die Polynome angegeben.

Answer 1

Hallo

Ich hab folgendes gefunden:

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf

Comments

Das hab ich auch gesehen, aber ich verstehe einige Sachen nicht. 

Wenn du das Beispiel verstehst, könnte ich dich dann fragen ?

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naja bei na komplexen nullstelle weißt du das die konjungierte davon auch eine nullstelle ist. bilde das produkt der beiden und führe damit polynomdivison durch. die restlichen sollten sich dann mit p,q-formel oder ähnlichem lösen lassen

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falls du auf ferrari setzen möchtest, findest du das hier:http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=542&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F gut aufbereitet.

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Ich werde es mal mit deinem Tipp versuchen. 

Ich dachte einfach Ferrari bietet sich hier an, da es in der Vorlesung angesprochen wurde und hier ein Polynom n=4 ist, wenn ich mir aber das Verfahren angucke, dann werde ich es mir noch einmal überlegen ob ich wirklich mit Ferrari arbeiten möchte.

Aber danke!

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sorry mir fällt gerade auf, dass ich mich unpräziese ausgedrückt habe. ich meinte das produkt von z-nullstelle1, z-nullstelle2. schwubs, hoffe du hast dir noch nicht den hintern wundgerechnet und die welt verflucht.  halte uns doch bitte über dein vorankommen auf dem laufenden.

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ich habe heute leider keine zeit mehr dafür gehabt, aber es steht morgen an erster stelle auf meiner liste!

sobald ich mich morgen ransetze und (hoffentlich!) etwas vernünftiges raushabe, melde ich mich.

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so..entschuldige, ich bin gestern einfach nicht mehr dazu gekommen!

meine nullstelle ist z₁= -1+2i, davon das komplex konjugierte ist dann z₂= -1-2i

habe jetzt (z-z1)*(z-z2) berechnet und polynomdivision gemacht, aber das geht leider nicht auf. 

mein polynom sieht wie folgt aus: z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 10z + 25

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Unter alternate form hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28z%5E4+-+2z%5E3+%2B+2z%5E2+-+10z+%2B+25%29%2F%28%28z-%28-1%2B2i%29%29%28z-%28-1-2i%29%29%29

siehst du, dass das Resultat der Polynomdivision wohl z^2 - 4z +5 sein sollte.

Vergleiche deine Rechnung mal damit. 

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so habe meinen Fehler gefunden. Ich dachte, dass mein Produkt falsch sein muss, aber ich hatte einen kleinen Fehler bei meiner Polynomdivison. Habe jetzt wie von wolframalpha gesagt die 2 neuen nullstellen z3= 2+i und z4=2-i

Danke für die Hilfe!

jetzt versuche ich mich an (c) mit z^6 - 5z^5 + 16z^4 - 42z^3 + 53z^2 + 27z - 90. Habe es wie bei der (a) probiert und eine polynomdivison gemacht. bin jetzt bei z^4 - z^3 + 7z^2 - 9z - 18. aber jetzt geht es nicht mehr weiter :/

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Probiere es mit allen Teilern von 18. (Jeweils + und -)

Anmerkung: Auch beim Raten der reellen Nullstellen kann Wolframalpha behilflich sein. 

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Ist gestern Abend noch etwas spät geworden, aber ich habe meine ganze Aufgabe lösen können. Danke an alle!

Nur noch meine letzte Frage, da mich wolframalpha hierbei etwas verwirrt hat: mein Polynom p(z)=z^5-5iz^4-10z^3+10iz^2+5z-i (das wäre die (b)) hat laut wolfram die Nullstelle z1=i. Aber muss dann nicht auch z2=-i eine Nullstelle sein?

Habe mit z1=i immer wieder eine Polynomdivision, also mein Polynom/(z-z1), gemacht, bis ich am Ende z+i stehen hatte, was ja z+i=0 <=> z= -i ist.

Wie viele Nullstellen hat den nun dieses Polynom ?

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So wie du das beschreibst ist z= i eine Vierfache Nullstelle und z=-i eine einfache Nullstelle.

Test das mit (z - i) ^4 (z+i) . Das sollte das gegebene Polynom ergeben. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28z+-+i%29+%5E4+%28z%2Bi%29+. 

Da (expanded form) hat somit etwas nicht gestimmt mit deinen Polynomdivisionen.

Prüfe die dort schrittweise nochmals nach.

"Aber muss dann nicht auch z2=-i eine Nullstelle sein? "

Aus z1= i kannst du nur auf z2 = -i schliessen, wenn das Polynom NUR reelle Koeffizienten hat. 

Wenn sich das im Verlauf der Divisionen ergibt, kannst du es für die folgenden Nullstellen mit Imaginärteil benutzen. 

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Habe es noch einmal nachgerechnet und anscheinend hatte sich dort ein kleiner Fehler eingeschlichen. Den hatte ich nicht bemerkt, weil die Rechnung so gut ging. 

Danke Lu.

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Bitte. Gern geschehen! 

Answer 2

Ich würde erst mal die Polynome durch die Nullstellen dividieren. 

D.h. Polynomdivision durch (x-xo).

Dann gleich nochmals die gleiche Division anhängen (kann ja sein, dass es ein mehrfache Nullstelle war. 

Falls du ein reelles Polynom hast und eine der gegebenen Nullstellen einen Imaginärteil hat, kannst du direkt durch (x-xo)(x-xo^konjugiert) teilen. 

Wenn du den Grad nicht genug weit reduzieren kannst, versuche es mit Vieta oder einer Substitution. Dazu müsste man aber das fragliche Polynom sehen.