Wieso hat die alternierende Gruppe Alt(4) keine Untergruppen mit 6 Elementen??

Question

ich möchte zeigen, dass die Umkehrung vom Satz von Lagrange nicht bei Alt(4) gilt.

|Alt(4)| = 12 -> 6 ist ein Teiler |Alt(4)|, aber Alt(4) hat keine Untergruppen mit 6 Elementen, somit gilt hier die Umkehrung vom Satz von Lagrange nicht, aber Wieso hat die alternierende Gruppe Alt(4) keine Untergruppen mit 6 Elementen ??

Answer 1

Eine Untergruppe von \(A_4\) mit 6 Elementen, hätte

den Untergruppenindex 2 in \(A_4\).

Eine Untergruppe mit Index 2 ist immer ein Normalteiler, da die

einzige "echte" Linksnebenklasse gleich der Rechtsnebenklasse ist.

\(A_4\) besitzt aber nur einen nichttrivialen Normalteiler, nämlich \(V_4\)

der Ordnung 4.