Zeigen Sie, dass f(x,y) := Σ det (xi yi | xj yj) eine alternierende Bilinearform definiert

Question

Aufgabe:

Es seien n∈ℕ und V = Kⁿ

(a) Zeigen Sie, dass f(x,y) := \( \sum\limits_{1≤i<j≤n}^{} det{\begin{pmatrix} xi & yi \\ xj & yj \end{pmatrix}} \) eine alternierende Bilinearform definiert

(b) Zeigen Sie, dass {x,y} ⊆ V² genau dann linear abhängig ist, wenn alle 2 x 2-Minoren 0 sind, d.h.

det(\( \begin{pmatrix} xi& yi \\ xj & yj \end{pmatrix} \) )) = 0 für Alle 1≤i<j≤n
Problem/Ansatz:

(für xi ist x_i gemeint, gleiches gilt für yi, xj, und yj)

Zu (a). Ich habe mir die Definitionen einer Bilinearform bereits angeguckt und wann solch eine alternierend ist.

Wenn ich es richtig verstanden habe, müsste ja die Diagonale x_i und y_j ja 0 sein. Allerdings weiß ich nicht, wie mir das weiterhelfen soll. Ich könnte Hilfe für einen Ansatz gebrauchen.

Comments

{x,y} ⊆ V²

Müsste es nicht

        {x,y} ⊆ V

oder

        (x,y) ∈ V²

lauten?

Answer 1

Biliniarität

\( \begin{aligned} f(\alpha_{x}x,\alpha_{y}y) & =\sum\limits _{1\le i<j\le n}\det\begin{pmatrix}\alpha_{x}x_{i} & \alpha_{y}y_{i}\\ \alpha_{x}x_{j} & \alpha_{y}y_{j} \end{pmatrix}\\ & =\sum\limits _{1\le i<j\le n}\left(\alpha_{x}x_{i}\alpha_{y}y_{j}-\alpha_{x}x_{j}\alpha_{y}y_{i}\right)\\ & =\sum\limits _{1\le i<j\le n}\alpha_{x}\alpha_{y}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)\\ & =\sum\limits _{1\le i<j\le n}\alpha_{x}\alpha_{y}\det\begin{pmatrix}x_{i} & y_{i}\\ x_{j} & y_{j} \end{pmatrix}\\ & =\alpha_{x}\alpha_{y}\sum\limits _{1\le i<j\le n}\det\begin{pmatrix}x_{i} & y_{i}\\ x_{j} & y_{j} \end{pmatrix}\\ & =\alpha_{x}\alpha_{y}f(x,y) \end{aligned} \)

Das die Bilinearform alternierend ist, kannst du auf ähnliche Weise zeigen indem du \(f(x,x)\) umformst.

Comments

Hallo,

es fehlt noch die Biadditivtät ...