Umordnung alternierende harmonische Reihe

Question

Und zwar versuche ich die Umordnung von Reihen zu verstehen jedoch verstehe ich nicht, wie man der set alternierenden harmonische Reihe auf diese Werte im Nenner kommt. Könnte man nicht 2n-1 für ungerade Zahlen nutzen wie man es bei den geraden Werte mit 2n+2 getan hat? Ich versteh nicht wie man darauf kommt, weil wenn man z.b. n=1 in 1/2^n +1 einsetzt kommt 1/3 raus aber bei n=2 in 1/2^n +3 kommt da 1/7 raus und die 1/5 wurde übersprungen. Ich versteh nicht wie man darauf kommt und was diese untereinander Reihung in der Mitte mit den ganzen Plus bedeuten soll.

Text erkannt:

Behauptung. Es gibt eine Umordnunig mit \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\tau(n)-1}}{\tau(n)}=\infty . \)
Beweis. Wir betrachten die Glieder ungerader Ordnung der gegebenen Reihe von \( \frac{1}{2^{n}+1} \) bis \( \frac{1}{2^{n+1}-1} \). Für jedes \( n \geqslant 1 \) gilt
\( \frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+3}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}-1}>2^{n-1} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{4} \)
Deshalb divergiert folgende Reihen-Umordnung bestimmt gegen \( +\infty \) :
\( \begin{aligned} 1-\frac{1}{2} &+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ &+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)-\frac{1}{6} \\ &+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\right)-\frac{1}{8} \\ &+\ldots \\ &+\left(\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+3}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)-\frac{1}{2 n+2} \\ &+\ldots \end{aligned} \)
Man beachte, dass in der Umordnung alle mit Minuszeichen behafteten Glieder gerader Ordnung einmal an die Reihe kommen, aber mit immer größerer Verzögerung gegenüber den positiven Gliedern ungerader Ordnung. Deshalb können die Partialsummen über alle Grenzen wachsen.

Dies Gegenbeispiel zeigt also, dass für nicht absolut konvergente unendliche Summen das Kommutativgesetz nicht gilt. Siehe dazu auch Aufgabe 7.9.

Answer 1

Hallo

in einer Klammer steht nur immer ein n, also erste Klammer

n=1 : 1/(2^1+1)=3  also 1/3

n=2 :(1/(2^2+1) +1/(2^2+3)=(1/5+1/7)

n=3 kannst du jetzt selbst

du bist zu sehr gewohnt, n einfach zu erhöhen, aber das passiert erst in der nächsten Klammer.Eigentlich hättest du das in dem ausgeschriebenen Teil sehen können

Gruß lul