Reihenwert von alternierende harmonische Reihe bestimmen.

Question

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \pm \ldots \)

 Warum ist die Reihenwert ln(2)?

Answer 1

Hallo

 wenn du die Taylorreihe von ln(1+x) um x_0=0 Bildes bekommst du diese Reihe für x=1 ich glaube nicht dass es einen einfachen anderen Weg gibt.

Gruß lul

Answer 2

a) zunächst mal konvergiert die Reihe nach Leibniz:

1. Sie ist alternierend und 2. Die Beträge der Summanden bilden eine monoton fallende Nullfolge. ⇒ Konvergenz

b) jetzt: mache eine Taylorreihe für ln(1+x)

Ergebnis: ln(1+x) =x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 - x⁶/6 +/- ...

konvergiert für IxI<1, aber auch x=1

c) x=1 eingesetzt: ln(2) = alternierende harmonische Reihe

Comments

Wie kann ich es ohne Taylorreihe schreiben?

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⇒ Konvergenz

Fehlt da nicht noch etwas?

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@ Spacko:  Fehlt da noch was? Mir fällt wirklich nichts auf/ein?

1. Sie ist alternierend und 2. Die Summanden bilden eine Nullfolge. ⇒ Konvergenz

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Die Folge der Beträge muss noch monoton fallend sein.

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@Em93: Wie kann ich es ohne Taylorreihe schreiben?

Keine Ahnung, Tschakabumba hat sogar eine Reihe integriert, um zu einer anderen Reihe zu kommen!

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@EmNero @Spacko: Danke, habs verbessert!

Answer 3

Aloha :)$$\left[x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots\right]_0^{x_0}=\int\limits_0^{x_0}\left(1+x+x^2+x^3+\cdots\right)dx$$$$\stackrel{|x_0|<1}{=}\int\limits_0^{x_0}\frac{1}{1-x}dx=\left[\,-\ln(1-x)\,\right]_0^{x_0}=-\ln(1-x_0)+\ln(1)=-\ln(1-x_0)$$$$\Rightarrow\quad x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\cdots=-\ln\left(1-x\right)\quad;\quad |x|<1$$$$\Rightarrow\quad 1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^3}{4}+\frac{x^4}{5}+\cdots=-\frac{\ln\left(1-x\right)}{x}\quad;\quad x\ne0\,,\,|x|<1$$$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\lim\limits_{x\to-1}\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+\cdots\right)=\lim\limits_{x\to-1}\left(-\frac{\ln\left(1-x\right)}{x}\right)=\ln(2)$$

Comments

Ich habe das nicht verstanden. Wie heißt deine Methode?

Dankeschön

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@Tschakabumba: Bei dem vorletzten lim werden 2 lim gleichzeitig gebildet: x→-1,k→∞.

In der vorletzten Zeile steht: f(x)=g(x) für IxI<1.

Wieso gilt dann \( \lim\limits_{x\to-1} \) f(x) = \( \lim\limits_{x\to-1} \) g(x) ?