Alternierende harmonische Reihe: Summe sei s.

Question

Hallo kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Die Summe der alternierenden harmonischen Reihe

∞

∑    (-1)^n-1/n  sei s.

n=1

Weise die Konvergenz der Reihen s+  := 1+ 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 -1/4 ++-..... und s-  := 1-1/2 -1/4 + 1/3 -1/6 -1/8+--.....  nach und drücke deren Summen durch s aus.

Hinweis: Partialsummen

Comments

Fortsetzung der Frage dann vielleicht hier: https://www.mathelounge.de/76083/die-alternierende-harmonische-reihe-konvergiert-gegen-ein

Ausserdem https://www.mathelounge.de/403383/begrunde-die-konvergenz-alternierenden-harmonischen-reihe und andere "ähnliche Fragen" unten.

Vermutlich hast du in ein/zwei Stunden einen Ansatz oder gar eine ganze Antwort auf deine Frage. https://www.mathelounge.de/542209/harmonische-reihe-alternieren-und-umordnen

Answer 1

Vielleicht etwa so: Bilde gemäß Hinweis die Partialsummen$$s_N=\sum_{n=1}^N(-1)^{n-1}\frac1n$$$$s_{2N}=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n}\right)$$$$s_{4N}=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{4n-3}-\frac1{4n-2}+\frac1{4n-1}-\frac1{4n}\right)$$$$s_{3N}^+=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{4n-3}+\frac1{4n-1}-\frac1{2n}\right).$$Rechne nach, dass \(s_{3N}^+=\tfrac12s_{2N}+s_{4N}\) gilt.
Grenzwertbildung liefert \(s^+=\tfrac32s\).