Die alternierende harmonische Reihe ∑^∞ n=1 (−1)^{n+1}/ n konvergiert gegen ein s € R.

Question

Die alternierende harmonische Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \) konvergiert gegen ein \( s \in \mathbb{R} . \) Finden Sie eine Umordnung dieser Reihe, welche gegen \( s / 2 \) konvergiert. Hinweis: Gehen Sie wie folgt vor:
$$ \underbrace{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}_{-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)}+\underbrace{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}}_{-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)}+\ldots $$

Comments

ich bearbeite auch die Aufgabe. Ich habe dazu die Erklärung:

Es gilt  s_2n + (1 / (2n+1)) - (1 / (2n+2)) ≥ s_2n   (n∈ℕ)

also ist (s_2n) monoton wachsend und (s_2n-1) monoton fallend.

Wegen s_2n = s_2n-1 - (1 / 2n) hat man

s₂ ≤ s₄ ≤ ... ≤ s_{2n =} s_2n-1 - (1 / 2n) < s_2n-1 ≤ ... ≤ s₃ ≤ s₁   (n∈ℕ)

Damit sind (s_2n) und (s_2n-1) konvergent.

Leider verstehe ich das nicht, weil ich das nicht auf die Aufgabe anwenden kann. Könnte das vielleicht jemand näher erläutern?

Gruß, math.newbie

Answer 1

Das habe ich zu der Aufgabe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \)
\( =1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\ldots \)
\( =\frac{1}{2 k-1}-\frac{1}{2(2 k-1)}-\frac{1}{4 k}, k=1,2, \ldots \)
\( =\frac{1}{2 k-1}-\frac{1}{2(2 k-1)}-\frac{1}{4 k}=\frac{2-1}{2(2 k-1)}-\frac{1}{2(2 k)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 k-1}-\frac{1}{2 k}\right) \)

Die Summe entspricht genau der Hälfte der alternierenden harmonischen Reihe:

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots\right)=\frac{1}{2} \ln (2) $$