lineares Gleichungssystem mit Lambda

Question

Hey ihr lieben,

wir sind hier in einer Lerngruppe gerade etwas an unsere Grenzen geraten, und zwar kommen wir bei der folgenden Aufgabe nicht wirklich weiter bzw. wissen nicht einmal wie wir anfangen sollen.

Da ich nicht wusste wie ich am besten das lambda Zeichen darstelle habe ich einfach lambda an die jeweilige Stelle geschrieben, ich hoffe das verwirrt nicht all zusehr.

Aufgabe:

Für welche Parameter lambda ist element von IR besitzt das Gleichungssystem
x₁ -  2 * x₂ - 2 * x₃ = 0
x₁ + x₂ + lambda * x₃ = 2
2 * x₁ + (lambda - 1) * x₂ - 2 * x₃ = 2

(a) keine, (b) genau eine bzw. (c) mehrere Lösungen?
Geben Sie für den Fall (c) die Lösungsmenge explizit an.

Problem/Ansatz:

Leider haben wir wie oben schon erwähnt keinen Ansatz, um nur eine der Lösungen zu erreichen. Es würde uns daher sehr freuen wenn jemand einen Ansatz oder vielleicht eine Lösung liefern könnte.

Gruß

Mamalu

Answer 1

\( \begin{pmatrix} 1 & -2& -2 & 0\\ 1 & 1& λ& 2\\ 2 & λ-1& -2& 2\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & -2& -2 & 0\\ 0 & 3& λ+2& 2\\ 0 & λ+3& 2& 2\end{pmatrix} \)                    3.Zeile  -   (λ+3)/3*2.Zeile

\( \begin{pmatrix} 1 & -2& -2 & 0\\ 0 & 3& λ+2& 2\\ 0 & 0& -λ(λ+5)/3& -2λ/3\end{pmatrix} \)     

Rücksub:

-5≠λ≠0: dann genau eine Lösung

λ=-5: Widerspruch, keine Lösung

λ=0: 3. Zeile: 0x₃=0, unendl. viele Lösungen:

x₃ = t, t ∈ℝ

x₂=(2-2t)/3

x₁=2x₂+2x₃=(4+2t)/3

Comments

Ist das Abelproblem von vorhin geklärt?

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Jaa, danke.

Haben es verstanden.

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Das λ-Prob auch?

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Noch nicht ganz aber was wurde bei der zweiten matrize in der 3ten Zeile gemacht ?

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Jetzt 3. Zeile klar? s.o.

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Ja, danke.

Hast uns gerettet.

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Wir haben doch noch eine Frage kann das sein das in der 3ten Zeile Ein Vorzeichen Fehler ist? Bei uns kommt immer -λ(λ+5)/3 und nicht -λ(λ-5)/3 raus.

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Richtig! Habs verbessert!

Answer 2

Hallo

 man geht mit dem System brav nach Gauss vor, nur wenn man mit λ oder  λ+Zahl multiplizier oder dividiert muss man eben λ+Zahl ungleich 0 voraussetzen .

wenn man die Dreiecksform hat ist die Unterscheidung leicht.

Gruß lul