Bestimmen der Dimension und einer Basis des Zp Vektorraumes Abb(Zp,Zp)

Question

Hi, die Aufgabe ist, die Dimension und eine Basis der ℤ_p Vektorraumes Abb(ℤ_p,ℤ_p) zu bestimmen. p ist Primzahl.

Mir fällt vor allem die Vorstellung von Abb(ℤ_p,ℤ_p) als Vektorraum schwer und dadurch dann auch das Bestimmen einer Basis. Ein kleiner Denkanstoß wäre super. 

Answer 1

die Dimension ist \(p\). Eine Basis bilden bspw. die Abbildungen \(f_r \in Abb(\mathbb{Z}_p, \mathbb{Z}_p)\), \(r \in \mathbb{Z_p}\):

$$ f_r(x) = \begin{cases} 1 \text{ falls x=r } \\ 0 \text{ sonst } \end{cases} $$

Gruß

Comments

Erstmal danke für die Antwort! Ich frage mich gerade nur, wie kommt man auf so eine Basis? 

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Da kann man über verschiedene Denkansätze hinkommen.

Beispiel 1:

Man macht sich zuerst klar, wie 2 Abbildungen aus dem Abbildungsraum unterschieden werden. Dann kann man sich überlegen, wann eine Anzahl von Abbildungen linear unabhängig ist und wie groß diese Anzahl maximal ist. Dann überlegt man sich wie man jede Funktion aus einer solchen Anzahl Funktionen darstellen könnte.

Beispiel 2:

Man stellt sich den Abbildungsraum als den \(\mathbb{Z}_p\)-VR \(\mathbb{Z}_p^p \) vor und überlegt sich wie eine Basis davon aussehen kann, übersetzt dann diese Basis wieder auf Abbildungen.

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Ok, danke. Dann probier ich das mal so aus.