Was besagt denn der Austauschsatz genau?
Die Aussage "w1,w2,...,wn,v sind lin. unabh." scheint mir logisch.
Hier mal ein Versuch das ausführlich zu notieren:
Alle Elemente von W können als Linearkombinationen von w1, w2, ... wn geschrieben werden.
Und alle Linearkombinationen von w1, w2, ...., wn liegen in W.
==> v kann nicht als Linearkomb. von w1, w2, ... ,wn dargestellt werden.
==> v ist lin. unabh. von span(w1, w2, ... ,wn) .
w1, w2, ...., wn sind als Basis lin. unabh.
==> v,w1,w2,... ,wn sind lin. unabh.