Gleichheit zweier Mengen aus der Dimension des Vektorraumes schlußfolgern

Question

\( W \subseteq V \) ist Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraumes. Aus \( dim W = dim V \) folgt \( W = V\).

Beweis: Sei \( n = dim W = dim V\) und \( w_1, ..., w_n \) Basis von \( W \). Ist \( W \not = V \), so gibt es ein \( v \in V \setminus W \) und \(w_1, ..., w_n, v \) sind linear unabhängig im Widerspruch zum Austauschsatz.

"\(w_1, ..., w_n, v \) sind linear unabhängig" verstehe ich leider nicht. Warum sind diese Vektoren linear unabhängig? Der Rest ist klar.

Answer 1

weil du \(v\) nicht durch eine lineare Kombination von \(w_1, \dots, w_n \) erzeugen kannst, denn ansonsten wäre ja \(v \in W \).

Gruß

Answer 2

Was besagt denn der Austauschsatz genau?

Die Aussage "w1,w2,...,wn,v sind lin. unabh." scheint mir logisch.

Hier mal ein Versuch das ausführlich zu notieren:

Alle Elemente von W können als Linearkombinationen von w1, w2, ... wn geschrieben werden.

Und alle Linearkombinationen von w1, w2, ...., wn liegen in W.

==> v kann nicht als Linearkomb. von w1, w2, ... ,wn dargestellt werden.

==> v ist lin. unabh. von span(w1, w2, ... ,wn) .

w1, w2, ...., wn sind als Basis lin. unabh.

==> v,w1,w2,... ,wn sind lin. unabh.

Comments

Danke für die schnellen Antworten. Leider war das für mich bisschen zu schnell und konnte nicht alles nachvollziehen, deswegen nochmal.

Ich muss zeigen, dass für \( 0 = \lambda_1 w_1 + ... + \lambda_n w_n + \lambda v \), \(\lambda_1, ..., \lambda = 0 \). Jetzt nehme ich an es wäre linear abhängig und brauche ein Widerspruch. Für \( \lambda \not = 0 \) wäre das ganze sehr einfach, weil dann kann ich \( v \) rüber bringen und habe damit, dass die lineare Kombinationen das \(v \) erzeugen und somit \( v \in W \), was Yakyu geschrieben hat und das ist Widerspruch. Das Problem ist, das hier nicht unbedingt \( \lambda \not = 0 \) gelten muss, sondern z.B. \( \lambda_5 \not = 0 \).

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1. Was Yakyu geschrieben hat, ist mE eine Kurzversion, dessen, was ich hier umständlich hingeschrieben habe.

2. Du hast noch nicht geschrieben, was der Austauschsatz genau besagt.

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Lu,

Austauschsatz:

\(  (v_1, ..., v_r) \) ist eine Basis.

\( (w_1, ..., w_n) \) ist eine l. unabhängige Familie.

Dann ist \( n \le r \) und man kann die ganze Familie gegen \(n \) Elemente aus der Basis austauschen und man erhält wieder eine Basis.

Das ganze bezieht sich natürlich auf ein K-Vektorrraum \(V\)

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Lu,

ich bin bis hierhin gekommen "==> v ist lin. unabh. von span(w1, w2, ... ,wn) ." und verstehe nicht was Du damit meinst bzw. was die Aussage "lin. unabh. von span" zu sein, zu bedeuten hat.

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Das soll heissen v ist lin. unabh. von allen denkbaren Linearkombinationen von w1,w2,...,wn.

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Lu, die lineare unabh. kenne ich nur in Zusammenhang mit dem Nullvektor. So haben wir die l. Unabhängigkeit definiert.