Äquivalenzrelation Aufgabe: Sei X eine nicht leere Menge und M* eine Partition von X …

Question

Sei X eine nicht leere Menge und M* eine Partition von X, d.h. M* ist eine nicht leere Menge

von nicht leeren, paarweise disjunkten Teilmengen von X, deren Vereinigung X ist. Zeigen Sie: (X, ∼) mit

x ∼ y :⇐⇒ ∃M ∈ M* : x ∈ M ∧ y ∈ M
ist eine Äquivalenzrelation auf X, deren Äquivalenzklassen die Elemente von M* sind. 

Answer 1

reflexiv:  d.h. zu zeigen ist, dass jedes x aus X mit sich selbst in der Rel. steht.

Sei also x aus X.

Da die Vereinigung aller  M aus M*   gleich X ist, gibt es ein M aus M*  , welches

x enthält, also x aus M und also auch  (x aus M) und ( x aus M)

also x ~x.

symmetrisch:  wenn   x ∼ y

dann ∃M ∈ M* : x ∈ M ∧ y ∈ M  also auch

y ∈ M ∧ x ∈ M    also    y ~x

transitiv:   seien    x ∼ y    und     y ∼ z  dann 

∃M1 ∈ M* : x ∈ M1 ∧ y ∈ M1  und  ∃M2 ∈ M* : y ∈ M2 ∧ z ∈ M2

da alle M aus M* disjunkt sind , aber y ∈ M1  und  y ∈ M2 ,

gilt also M1 = M2   also auch x ∈ M2 und z ∈ M2

also x ~ z.

Und die Klassen bestehen ja genau aus den Elementen, die

miteinander in der Relation stehen, und das sind eben die, die

in der gleichen Menge M aus der Partition liegen, also sind

die Elemente der Partition genau die Klassen der Rel.