Verstehe die Aufgabe zu Partition einer Menge M nicht (Relationen, Potenzmenge, Äquivalenzordnung)

Question

Oh man ich bin echt ein Hängerin. Ich habe mir jetzt stundenweise Infos zu dem Thema reingeprügelt und weiß eigentlich mit allen, in der Aufgabe genannten Begriffen was anzufangen, aber ich verstehe nicht genau, was sie von mir wollen.

Die Potenzmenge von M besteht ja aus allen Mengen der Menge M und der leeren Menge. Eine Äquivalenzrelation muss refelxiv. symmetrisch und transitiv sein, das weiß ich auch und was das bedeutet. Disjunkt bedeutet so viel wie, dass A und b kein gemeinsames Element besitzen, dass ihre gemeinsame Menge also die leere Menge ist.

Nun gucken wir uns also eine Partition(Teilmenge?) von der Potenzmenge P an, welche NICHT die leere Menge enthält. Außerdem enthält die Partition alle Elemente aus M(?). Das ist das was ich meine verstanden zu haben :(

Hören die Leute, die hier Ahnung haben wahrscheinlich zum 1000. mal aber: ~ Clara

Comments

Mal anschaulich:

Eine Partition ist auf Deutsch eine Teilung.

Beispiel: Ein Blatt Papier wird in 10 Fetzen zerteilt.

Eigenschaften:

1) Kein Fetzen besteht aus NICHTS.

2) Was Element von einem Fetzen ist, kann nicht Element von einem andern Fetzen sein.

3) Jedes Element des Blattes ist auf irgendeinem Fetzen.

Nun der Satz den du zeigen sollst:

Man definiert, dass Elemente desselben Fetzen in "~ Relation" zueinander stehen (als gleichwertig gelten) . Das prüft man, indem man die 3 definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation prüft.

Beachte, dass in deiner Aufgabe 2 verschiedene P vorkommen. Das P in der Frage ist explizit nicht das P für Potenzmenge. Kann sein, dass das hier 2013 auch so gemeint war https://www.mathelounge.de/61583/relationen-und-aquivalenzrelationen (äqui=gleich, valenz=wert) aber in der Fragestellung damals vergessen wurde.

Answer 1

Die Potenzmenge von M besteht ja aus allen Teilmengen

(Das sind die Fetzen aus dem Tipp von Lu.) der Menge M und der leeren Menge.

Nun gucken wir uns also eine Partition(Teilmenge?) von der Potenzmenge P an,

Vielleicht sollte man dazu um Verwechslungen vorzubeugen die Partition nicht P

sondern z.B.  A nennen. Also A ist eine Teilmenge von P(M), besteht also aus einigen (ggf. nur einer)

Teilemenge von M.

Eine Äquivalenzrelation muss refelxiv. symmetrisch und transitiv sein, das weiß ich auch und was das bedeutet.

Dann mal los:   reflexiv bedeutet:   Jedes Element a von M steht mit sich selbst in der Relation.

Also ist zu überlegen: Gibt es ein Element der Partition (also einen Fetzen) in der sowohl a

als auch a liegt. Das hört sich blöd an, ist aber wahr; denn jedes A ∈ M liegt ja in einer der an der

Partition beteiligten Mengen. ( siehe (3) ).

symmetrisch:   Seien a und b aus M und   a~b

dann liegen a und b beide in der gleichen an der Partition beteiligten Menge, also auch b und a.

(Besser vielleicht: Es gibt ein X ∈ A  (also X ist die an der Partition beteiligte Menge) mit

                 a∈X und b∈X    ==>         b∈X und     a∈X

           ==>   b ~ a . )

transitiv:  Seien a und b und c aus M und   a~b   ∧   b~c

dann liegen a und b beide in der gleichen an der Partition beteiligten Menge

(auch hier wohl besser: Es gibt ...............)

und auch b und c beide in der gleichen an der Partition beteiligten Menge , also liegen

in dieser Menge alle drei, und damit gilt auch a ~c .