Aus Differenz der Argumente folgt Differenz der Funktionswerte

Question

Bestimmen Sie für die Funktion f: A→R zu a∈A und ε > 0  ein δ > 0, so dass aus x∈A und |x-a| < δ folgt |f(x) - f(a)| < ε.

f: [1, 2]→R, x → 2x²

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Wenn ε frei wählbar ist, wie kann es dann ein δ geben, durch das der Betrag der Funktionswertdifferenz zwingend kleiner als dieses ε ist?

Comments

Wähle z.B. \(\delta=\dfrac\varepsilon{2(x+a)}\).

Answer 1

das ist ja im Grunde die Bedingung dafür, dass die Funktion auf \(A\) stetig ist. Da hier \(A =[1,\ 2] \) ist gilt: \( |x+a| \leq 4\) für alle \(x, a \in A\).

Somit für ein \(\varepsilon > 0 \), wähle \(\delta = \frac{\varepsilon}{8} \).

$$ |2x^2-2a^2|=2|x+a||x-a|\leq8|x-a| < \varepsilon $$

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Antwort, ich denke ich hab´s verstanden.

Aber aus Interesse, nicht Teil der Aufgabe: Wie würde die Rechnung aussehen, wenn A = [1, ∞) ?

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Lass uns doch direkt \(A= \mathbb{R} \) nehmen.

Wir nehmen als Zwischengedanken mal: \(|x-a| < \delta < 1\). Somit ist vor allem wegen der Dreiecksungleichung \( |x+a| = |x-a+2a| \leq |x-a|+2|a| < 1 + 2|a| \).

Somit suchen wir für ein \(\varepsilon > 0 \),  \(\delta > 0 \), so dass

$$ 2|x+a||x-a| < 2(1+2|a|) \delta \leq \varepsilon $$

Setzen wir also \( \delta = \min( \frac{\varepsilon}{2+4|a|}, c) \), wobei \(0<c<1\) irgendeine Zahl ist, so finden wir für alle \( a \in \mathbb{R}\) und \(\varepsilon > 0\) also ein \(\delta > 0\), so dass aus \(|x-a| < \delta\) folgt, dass \(|f(x)-f(a)| < \varepsilon\). Somit ist die Funktion \(f(x) = x^2\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig.

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Muss ich mir heute Abend in Ruhe durch den Kopf gehen lassen.

Aber auf jeden Fall tausend Dank