Finde ein Polynom P aus C, sodass gilt:

Question

Ein Polynom P element C finden
Ich würde gerne wissen wie ich bei dieser aufgabe vorgehen soll. ich soll ein polynom finden p element C[x] , dessen grad kleiner als 4 ist, sodass gilt:
P(1)=2
P(i)=-2i
P(-1)=2
P(-i)=2i



Meine Ideen:
ich bräuchte ja ein polynom, welches mit x^3 beginnt.
sollte ich ein gleichungssystem aufstellen? wie sollte dieses aussehen?

Danke

Answer 1

wegen \(P(1)=P(-1)=2\) existieren \(a,b\in\mathbb C\) mit$$P(x)=(ax+b)(x^2-1)+2$$Aus \(P(i)=-2i\) und \(P(-i)=2i\) folgt$$\quad(1)\quad-2i=-2(ai+b)+2$$$$\quad(2)\qquad2i=-2(-ai+b)+2.$$Daraus folgt \(a=b=1\), also \(\pmb{P(x)=x^3+x^2-x+1}\).