Wie beweist man etwas mithilfe des Archimed Axiom

Question

Ich habe mir jetzt schon dutzend mal das archimedes Axiom durchgelesen, aber ich verstehe einfach nicht, wie ich es gut für einen Beweis benutzen kann.

Bsp.: ∀ x,y ∈ ℝ mit y>1 ∃ n∈ℕ mit  y^n > x

Tipp: Nutze die archimedes Eigenschaft der reellen Zahlen, also

∀ x,y ∈ℝ mit x>0 ∃ n ∈ℕ, so dass y < n*x

So?

 (n*x)^n >y^n

Comments

Kennst du die Bernoulli-Ungleichung?

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Ja, habe ich vorhin bewiesen, aber ohne bewusst das Archimedes Axiom zu verwenden.

Answer 1

Nutze die archimedes Eigenschaft der reellen Zahlen, also
∀ x,y ∈ℝ mit x>0 ∃ n ∈ℕ, so dass y < n*x

So?   Eher so ( Da du ja Bernoulli-Ungl kennst)

Seien x,y ∈ ℝ mit y>1  dann gibt es ein z>0 mit  y=1+z

Und nach Archimedes gibt es ein n aus N mit n*z > x-1

                Also 1+n*z > x

und wegen Bernoulli dann auch (1+z)^n > x

also               y^n > x            q.e.d.