Die Streifenmethode des Archimedes

Question

Hallo :)

Ich bin jetzt neu in der 12. Klasse und wir haben ein neues Thema, was ich nicht ganz verstehe. Wir sollen den Flächeninhalt der Kurve der Normalparabel bestimmen.

Hier ist ein Beispiel zu sehen könntet ihr mir das bitte erklären und wie würde das acht Streifen aussehen könntet ihr mir das bitte Schritt für Schritt erklären wäre wirklich Mega Mega Mega lieb von euch!!!:)

Aufgabe: Wie bestimmt man den Flächeninhalt unterhalb der Kurve der Normalparabel (im Intervall [0;1]?

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Könnt ihr mir bitte helfen...

Das Hat etwas mit der unter und Obersumme zu tun also wenn ihr meine Frage nicht ganz verstanden habt.

Das ist wirklich sehr wichtig und ich hoffe, das ihr mir helfen könnt...

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Ich bin jetzt darauf gekommen, dass man Bei 8 Streifen dann die Breite 0,125 (1/8) - bei 16 dann 1/16 u.s.w. Hat ... aber ich komme dann nicht mehr weiter 

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Hilft Dir dieses PDF weiter?

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.. ich trotzdem nicht weiter:/

Answer 1

hier mal eine Skizze zu deiner Problemstellung.

Im Bild siehst du, wie die Ober - und Untersumme ,,aussehen'' soll. Für die jeweilige Summe ist es nun wichtig, wo angefangen wird aufzusummieren. Bei der Obersumme geht es bei x=/8 los und endet bei x=1, bei der Untersumme geht man um eine Einheit nach links, sodass man bei x=0 anfängt und bei x=7/8 endet.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich bekanntlich mit $$A=l\cdot b$$. Die Breite ist hier b=1/8, da du eine Einteilung von 8 Rechtecken hast und die Länge (hier Höhe) wird durch x^2 beschrieben, also $$l=f\Big(\frac{k}{8}\Big)$$

k ist einfach ein Laufindex, der jeweils die k-te Säule anspricht. Somit berechnet sich der Flächeninhalt des k-ten Rechtecks so: $$A_k=\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{k}{8}\Big)$$

Man hat $$f(x)=x^2$$

OBERSUMME

$$O_8=A_1+A_2+...+A_7+A_8\\=\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{1}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{2}{8}\Big)+...+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{7}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{8}{8}\Big)\\=\frac{1}{8}\cdot \Bigg(f\Big(\frac{1}{8}\Big)+f\Big(\frac{2}{8}\Big)+...+f\Big(\frac{7}{8}\Big)+f\Big(\frac{8}{8}\Big)\Bigg)\\=\frac{1}{8}\cdot \Bigg(\frac{1^2}{8^2}+\frac{2^2}{8^2}+...+\frac{7^2}{8^2}+\frac{8^2}{8^2}\Bigg)\\=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8^2}\cdot (1^2+2^2+...+7^2+8^2)\\=\frac{1}{8^3}\cdot (1^2+2^2+...+7^2+8^2)$$

Für die Summe der Quadratzahlen gibt es eine Summenformel. $$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$$ Hier wäre n=8, da wir in 8 Teile unterteilt haben. Also hat man

$$O_8=\frac{1}{8^3}\cdot \frac{8\cdot (8+1)\cdot (2\cdot 8+1)}{6}=\frac{51}{128}=0,3984375$$

Oder du rechnest die einfach per Hand zusammen, was bei so einer groben Einteilung noch geht. Anders wird es dann, wenn man eine viel feinere Einteilung, z.B., n=100 oder n=1000000 wählt. Da würde ein stumpfes Zusammenaddieren von Quadratzahlen ,,ein bisschen'' länger dauern und erst recht, wenn man den Fall n gegen ∞ betrachtet, um die exakte Fläche in diesem Intervall zu erhalten.

Die Untersumme überlasse ich dir. Bei Fragen/Unklarheiten melden.

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So ich habe jetzt alles aufgeschrieben aber dummerweise kann ich es nicht zeichnen da so keine Zahlen rauskommen außerdem kann beziehungsweise weiß ich nicht wie man die Untersumme und die Obersumme in den Taschenrechner ein gibt also ich habe die Rechnung aufgeschrieben aber kein Ergebnis

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Deine Untersumme stimmt nicht. Du sollst nur bis x=7/8 gehen und warum überspringst du x=1/8 und machst erst bei x=2/8 weiter. Das ist Blödsinn. Es muss so lauten:

$$U_8=\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{0}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{1}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{0}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{2}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{3}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{4}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{5}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{6}{8}\Big)+\frac{1}{8}\cdot f\Big(\frac{7}{8}\Big)\\=\frac{1}{8}\cdot\Bigg( f\Big(\frac{0}{8}\Big)+ f\Big(\frac{1}{8}\Big)+ f\Big(\frac{2}{8}\Big)+ f\Big(\frac{3}{8}\Big)+ f\Big(\frac{4}{8}\Big)+ f\Big(\frac{5}{8}\Big)+ f\Big(\frac{6}{8}\Big)+ f\Big(\frac{7}{8}\Big)\Bigg)\\=\frac{1}{8}\cdot \Bigg(\frac{0^2}{8^2}+\frac{1^2}{8^2}+\frac{2^2}{8^2}+\frac{3^2}{8^2}+\frac{4^2}{8^2}+\frac{5^2}{8^2}+\frac{6^2}{8^2}+\frac{7^2}{8^2}\Bigg)\\=\frac{1}{8^3}\cdot (0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2)$$

Ansonsten erstmal alles hinschreiben und soweit es geht vereinfachen, denn das sprt Tipparbeit beim Taschenrechner.

$$U_n=8=,,deine Rechnung''$$ zu schreiben ist auch falsch, da du die 8 mit deiner Summe gleichsetzt, was absolut keinen Sinn ergibt.

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Ist das auch falsch ?

(Möchte möchte nicht nerven)

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Ja, unzwar richtig falsch. Du sollst im Intervall [0,1] sein und nicht [0,2]!

Mach es doch einfach so, wie ich es hingeschrieben habe.

Answer 2

Bei 8 streifen untersumme

1/8 *f(0) + 1/8 *f(1/8) + 1/8*f(2/8)....1/8*f(7/8)

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Vielen Dank für die Antwort, aber leider verstehe ich gar nichts. Ich weiß nicht wie man das aufschreiben soll, geschweige denn rechnet. Das war unser erstes Thema und habe den Lehrer nicht verstanden, da er neu ist. Könntest du mir vielleicht alles Schrift für Schritt erklären?

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Versuche doch mal zu ergänzen was die ..... bedeuten.