Nullstellen bei Funktionsscharen

Question

kann mir jemand erklären wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss? Ich weiß zwar,dass man null setzten muss aber trotzdem komm ich nicht weiter.

Aufgabe: Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen fk. Geben Sie deren Vielflachheiten und geometrische Bedeutung in Abhängigkeit von k an.

 fk(x)= 1/5x^3 + kx^2 + 5/4k^2 x

Answer 1

fk ( x ) = 1/5 x^3 + kx^2 + 5/4k^2 x
fk ( x ) = x * ( 1/5 x^2 + kx + 5/4k^2 )
x * ( 1/5 x^2 + kx + 5/4k^2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
1/5 x^2 + kx + 5/4k^2  = 0
Mitternachtsformel
pq-Formel
oder
qudratische Ergänzung ergibt
x = -5/2 * k

Answer 2

$$\begin{aligned} f_k(x) &= \dfrac 15x^{3} + kx^{2} + \dfrac 54k^{2} x \\       &= \dfrac 15x\cdot\left(x^{2} + 5kx + \dfrac{25}{4}k^{2}\right) \\       &= \dfrac 15x\cdot\left(x + \dfrac{5}{2}k\right)^2 \\ \end{aligned}$$