Zeigen, dass alle Funktionen der Schar f_(a)(x) = x^2-ax^3+1 (a ≠ 0) einen Wendepunkt haben

Question

ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Ich soll rechnerisch zeigen das alle Graphen der Funktionsschar f(x) = x^2-ax^3+1 (a ungleich null) einen Wendepunkt haben. Ich verzweifle momentan völlig und würde mich über hilfe freuen.

MfG Steven.

Answer 1

f(x) = x²-ax³+1
f ´( x ) = 2 * x - 3 * a * x^2
f ´´( x ) = 2 - 6 * a * x

Wendepunkt
2 - 6 * a * x = 0
6 * a * x = 2
x = 2 / ( 6 * a )

Existiert für alles außer a= 0.

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat immer genau einen Wendepunkt. Das liegt daran, dass ihre zweite Ableitung immer eine nicht konstante, lineare Funktion ist und diese immer genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Dies lässt sich in wenigen Schritten zeigen.

Daher finde ich, dass die angeführte Aufgabe den Aufgabenbearbeiter eher an der Nase herumführt, als dass sie ihm irgendwelche nützlichen Erkenntnisse liefert und das finde ich schade bis ärgerlich!