Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar einen gemeinsamen Wendepunkt W haben,

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar f, mit f(x) = x²-2x²+3x+7-3a für a ∈ R. 8

a) Untersuchen Sie, für welche Werte von a die Funktion f, Extremstellen hat, und geben Sie diese gegebenenfalls an.

Geben Sie für a = 0 auch die konkreten Extrempunkte an. b) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar einen gemeinsamen Wendepunkt W haben,

und geben Sie die Koordinaten von W an. Bestimmen Sie den Wert von a, für den W ein Sattelpunkt ist.

c) Leiten Sie eine Gleichung der Wendetangenten t, der Graphen zu f, her. Kontrollergebnis: t(x) = (-3)-x+9-30]

d) Die Wendetangenten t, bilden für a < 2 mit den Achsen ein Dreieck.

Bestimmen Sie a so, dass

das Dreieck gleichschenklig ist,

der Flächeninhalt des Dreiecks minimal ist.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemanden helfen, ich verstehe einfach die Aufgabe nicht.

Danke

Answer 1

Anmerkung: Ich gehe davon aus, dass das \(x^2\) am Anfang des Funktionsterms ein \(x^3\) sein soll. Aber bist du dir sicher, dass die Gleichung stimmt? Es gibt nämlich keine Extrempunkte und einen gemeinsamen Wendepunkt gibt es auch nicht... Prüfe das bitte nochmal nach!

Was ist denn unklar?

a) Wie man Extrempunkte berechnet, weißt du? Bestimme die Extremstellen mit der ersten Ableitung (notwendige Bedingung). Diese hängen nicht von \(a\) ab. Hinreichende Bedingung prüfen und \(y\)-Koordinaten berechnen.

b) Wie a), nur dass man hier die Wendepunkte berechnet. Das geht dann über die zweite Ableitung. Dass alle Funktionen der Schar diesen Wendepunkt haben, sieht man daran, dass er nicht von \(a\) abhängt.

c) Ansatz \(y=mx+b\), wobei \(m=f'(x_w)\) die Steigung ist. Setze dann noch den Wendepunkt ein und löse nach \(b\) auf. Mit \(x_w\) ist die Wendestelle gemeint.