Beschränkte Mengen (Infimum, Supremum, etc.)

Question

ich bereite mich mit einem Freund auf meine Bald anstehende Klausur vor, und ein Thema bereitet uns Kopfzerbrechen.

Und zwar Dieses ganze Supremum, Infimum Zeug.

Könntet Ihr uns mal anhand von Beispielen das bitte etwas besser als unsere Lehrer erläutern.

Wir haben folgende Aufgaben:

Entscheide, ob folgende Mengen M⊆ℝ nach oben, oder unten beschränkt sind. Wenn ja, bestimme noch supM und infM. Und dann entscheide ob M ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Aufgabe 1:
M={x∈ℝ | x³ ist kleiner als 27}

Und Aufgabe 2:

$$ M=\left\{ { \frac { n-1 }{ n+1 }  }|{ n\quad ist\quad Element\quad der\quad Natürlichen\quad Zahlen } \right\} $$

Wir wären Dankbar überjemanden, der das gut erklären kann :)

Answer 1

a)

M={x∈ℝ | x³ ist kleiner als 27} = ] - ∞ ; 3 [

Maximum (Minimum) müsste ein  Elemente von M sein, das größer (kleiner) oder gleich jedem anderen Element von M ist. Gibt es offensichtlich nicht.

Infimum  (größte untere Schranke) gibt es auch nicht, denn M hat überhaupt keine untere Schranke.

3 ist aber offensichtlich die kleinste Zahl, die größer oder gleich jedem Element von M ist,

also die kleinste obere Schranke = Supremum.

b) 

(n-1) / (n+1) = 1 - 2/(n+1)  nimmt für n=1 den kleinsten Wert 0 an

 -> 0 ist Minimum und damit Infimum von M

für wachsendes n nähern sich die Werte von M streng monoton steigend dem Wert 1, kommen ihm beliebig nahe, erreichen ihn aber nicht.

1 ist also Supremum aber kein Maximum von M

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, dass klingt alles ganz vernünftig denke ich, aber leider wissen mein Freund und ich nichts damit anzufangen, bzw. nicht viel :/
An welche Sachen machst du das denn fest, dass es keine untere Schranke gibt?

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Es gibt dann keine untere Schranke für M, wenn keine Zahl z angegeben werden kann, für die gilt:

z ≤ x für alle x∈M. 

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Okay ich verstehe das leider nicht :/
Vielleicht bin ich schon zu müde, und man sagt ja, bei mehr als 3 Stunden Mathe schaltet der Kopf aus, ich gucke mir das morgen noch mal an, und würde mich freuen, wenn Sie wieder schreiben würden, wenn ich morgen immer noch fragen habe ^^

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Stell dir vor, z∈ℝ wäre eine untere Schranke von ] - ∞;  3 [ .

Was ist dann mit z-1 ∈  ] - ∞;  3 [  ? 

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Ah ja klar, ich denke ich verstehe jetzt, dass hatten wir mit ε im Unterricht veranschaulicht, das war glaube ich sogar Bestandteil der Definition, kann das sein?

und wie würde das bei dem Beispiel sein?

$$ M=\left\{ { \frac { x }{ x-1 }  }|{ x\quad ist\quad kleiner\quad als\quad 1,\quad x\quad ist\quad Element\quad der\quad Reellen\quad Zahlen } \right\}  $$

Ich hatte daran gedacht, dass 1 auch in diesem Falle das Supremum ist, und ebenfalls kein Maximum, kann das sein? Und was ist hier dann das Infimum?