Obere Grenze des Integral berechnen. Habe ich die Aufgabe richtig gerechnet?

Question

Habe ich die Aufgabe richtig gerechnet?

Bestimmen Sie b > 0 so, dass die Gleichung erfüllt ist. Verdeutlichen Sie Ihr Ergebnis an einer Skizze.

a) \( \int \limits_{0}^{b}\left(x^{2}-3\right) d x=0 \)
$$ \begin{array}{l} {=\left[\frac{1}{3} x^{3}-3 x\right]_{0}^{b}=0} \\ {=\left(\frac{1}{3} b^{3}-3 \cdot b\right)+\left(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}-3 \cdot 0\right)=0} \\ {=\frac{1}{3} b^{3}-3 b=0} \\ {b\left(\frac{1}{3} b^{2}-3\right)=0} \end{array} $$
\( b_{1}=0 \quad \frac{1}{3} b^{2}-3=0 \quad | +3 \)
\( \frac{1}{3} b^{2}=3 /\qquad |\cdot 3 \)
\( b^{2}=91 \qquad |\sqrt{} \)
\( b_{2}=3 \)
$$ b_{3}=-3 $$
Durch Einsetzen überprüfen:

\( \left(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}-3 \cdot 0\right)+\left(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}-3 \cdot 0\right)=0 \)

b muss 0 sein. Die anderen Ergebnisse würden keinen Sinn ergeben.

 

Comments

Wie sieht die Skizze eigentlich dazu aus?

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Da die Aufgabe explizit lautet, bestimme ein b > 0, solltest du dir nochmal Gedanken zu deiner Antwort machen.

Answer 1

Du hast richtig gerechnet.

Die Ergebnisse b=0 und b=-3 erfüllen die Bedingung b>0 der Aufgabenstellung nicht.

Die Schlussfolgerung, dass das Ergebnis b=3 keinen Sinn ergeben, ist falsch.

Answer 2

Das Integral hast du richtig ausgerechnet, aber dann hast du falsch geschlussfolgert.

$$ b(\frac13b^2-3)=0 $$

hat drei Lösungen, die alle gleichermaßen richtig sind. Einmal hast du natürlich das Integral von 0 bis 0, da ist die Fläche sicher Null. Aber Dann hast du noch

$$ \frac13b^2-3=0 $$

eine Parabel, die dir zwei weitere Nullstellen gibt. Das kannst du dir so vorstellen, dass bei diesen Stellen die Fläche zwischen der Parabel und der x-Achse von der x-Achse in genau zwei gleich große Teile geteilt wird, und da Flächen unterhalb der x-Achse als negativ gelten, ergibt das Integral in Summe Null.

Ich denke, die Nullstellen der Parabel kannst du selbst ausrechnen, aber frag ruhig, wenn es dir Probleme macht.

Comments

Ich verstehe nicht was ich nach dem integrieren beweisen muss? Was für eine Rechnung sollte demnach als letztes stehen? Und wieso sind alle Nullstellen nachvollziehbar ? Kannst du mir die Rechnung vielleicht ganz aufschreiben? Bin völlig durcheinander

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Du hast als Ergebnis deines Integrals das Polynom

$$\frac13b^3-3b=0$$

erhalten, das wie du richtig erkannt hast, bei 0 eine Nullstelle besitzt. Aber nicht nur da, denn Polynome können so viele Nullstellen haben wie die höchste auftretende Potenz deiner Variable. In diesem Fall ist b die gesuchte Variable, also hast du bis zu drei Nullstellen. Eine davon, Null hast du gefunden, also kannst du sie herausheben:

$$\frac13 b^3-3b=b\left(\frac13b^2-3\right)=0$$

Jetzt hast du noch die Nullstellen der Parabel

$$y=\frac13x^2-3$$

zu bestimmen. Wenn du ein Grafikprogramm hast, zeichne sie dir mal (ich glaube, Polynome zeichnet dir sogar Google, ansonsten kann ich Wolfram Alpha empfehlen). Die Gleichung kannst du mit 3 multiplizieren, dann wird sie gleich übersichtlicher:

$$\frac13b^2-3=0 \Longleftrightarrow b^2-9=0\Longleftrightarrow b^2=9$$

Die Frage ist also nach einer positiven Zahl b, die quadriert 9 ergibt. Eine Idee?