Zwei Integrale. Bsp. 1) ∫ e^3t dt mit der oberen Grenze 0 und der unteren Grenze -∞ (Minus Unendlich)

Question

Aufgabe: (2 Aufgaben)

Berechnen Sie folgende zwei Integrale.

1) ∫ e^3t dt mit der Obergrenze 0 und Untergrenze -∞ (Minus Unendlich) 

2) ∫ (x-1)*(x+1) dx mit der Obergrenze 2 und Untergrenze -2

Problem/Ansatz:

Was käme hier bei den beiden Aufgaben als Ergebnis raus und wie lautet der Lösungsweg dazu?

(Ich bitte noch um den Lösungsweg)

Comments

Gemäss https://www.mathelounge.de/schreibregeln bitte jeweils eine Frage pro Frage stellen. Nun die Antworten lesen und kommentieren.

(Ich bitte noch um den Lösungsweg) ist nicht geeignet für eine Überschrift, da nicht ersichtlich ist, was du noch nicht begriffen hast. 

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(Ich bitte noch um den Lösungsweg)

@D_O:

Und ich bitte um Rückmeldung!  ;-)

Answer 1

1.)

Ableiten:

Die e-Funktion abgeleitet ist wieder die e-Funktion. Wenn im Exponenten nicht nur x steht, muss die innere Ableitung gebildet werden und als Faktor vor die e-Funktion geschrieben werden.

f(t)=e^(3t) → f'(t)=3 e^(3t)

Integrieren:

Wir suchen eine Stammfunktion F zum Integranden, d. h. eine Funktion F, die abgeleitet die gegebene Funktion f ergibt. 

F(t)=1/3*e^(3t) , denn F'(t)=3·1/3*e^(3t)=e^(3t)=f(t)

∫ e^(3t) dt=1/3*e^(3t) +C

2.) Dritte binomische Formel

∫ (x-1)*(x+1) dx=∫ (x²-1) dx=x³/3-x +C

Answer 2

Hallo,

Aufgabe 2)

∫ (x-1)*(x+1) dx mit der Obergrenze 2 und Untergrenze -2

= ∫(x^2 -1) dx mit der Obergrenze 2 und Untergrenze -2

=x^3/3  -x  +C mit der Obergrenze 2 und Untergrenze -2

= 4/3

1) ∫ e^(3t) dt mit der Obergrenze 0 und Untergrenze -∞ (Minus Unendlich)

z=3t

dz/dt=3

dt=dz/3

->

=1/3∫ e^z  +C ,

1/3∫ e^(3t)  +C

\( =\lim \limits_{N \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{3} e^{3 t}\right]_{-N}^{0} \)
\( =\lim \limits_{N \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{3} e^{-3 N}\right] \)
\( =\lim \limits_{N \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{3}-0\right]=\frac{1}{3} \)