Ja gut, wenn alle Brüche gegen 0 gehen, dann hab ich am Ende \( \lim_{n\to\infty} \frac { 2^n + n^2 }{ \sqrt { 4^n + 3^n + 2n }} = 1 \)
Ich denke, damit ist die (a) fertig.
Bei Aufgabe (b) \( b_n \lim_{n\to\infty} \frac { \sqrt {n+1} \sqrt {n+3}} { n+2} \)
Habe zuerst den Zähler umgeformt, aber das war am Ende denke ich unnötig. Da \( \sqrt{n} → \infty \), so auch \( \sqrt{n+1} → \infty \) bzw. \( \sqrt{n+3} → \infty \). Also geht der ganze Zähler → ∞.
Und beim Nenner: \( \lim_{n\to\infty} n → n\) und \( \lim_{n\to\infty} 2 → 2 \). Als geht der Nenner → n+2.
Das heißt die Folge geht \( → \frac {\infty}{n+2} = \infty \)
?
(d) \( d_n = \frac{n!}{n^n} \)
Sowohl n! →∞ also auch \( n^n →∞ \), also auch \( d_n → ∞ \) oder \( d_n → 1\) . Bin nicht sicher.
(e) \( e_n = \sqrt { n + \sqrt{n}} - \sqrt {n} \)
Wie bei Argumentation oben ist \( \sqrt{n} → ∞ \) also ist \( e_n → ∞\) ? Oder \( e_n → 0 \). Da bin ich mir auch unsicher.