Ich denke mal, du kennst die Arcusfunktionen noch nicht, also lass ich die mal außen vor:
Wenn du dir eine Skizze machst, kannst du sehen, dass der cos(x) unendlich oft den Wert 1/2 annimmt. Zum Beispiel kannst du dir den Einheitskreis aufzeichnen und eine senkrechte Gerade bei x=1/2 einzeichnen oder den cos(x) als Funktionsgraph zeichnen und die waagrechte Gerade y=1/2 dazuzeichnen.
Ich benutze in diesem Beweis die Kongruenzeigenschaften von Dreiecken (Dreiecke sind kongruent, wenn sie nach Rotation und/oder Spiegelung und/oder Verschiebung deckungsgleich sind, man könnte sie ausschneiden und so aufeinanderlegen, dass sie identisch sind).
Ich würde die Frage geometrisch beantworten, indem du die Skizze des Einheitskreises mit der Gerade bei x=1/2 zeichnest und die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis S_1 und S_2 nennst. Dann zeichne den Radius vom Ursprung O zu S_1 und S_2, nennen wir diese Radien jeweils r1 und r2. Dann zeichnest du die Verbindungsstrecken von den beiden Schnittpunkten S_1 und S_2 zum Punkt (1,0) auf der x-Achse (sozusagen die Spiegelbilder der beiden Radien r1 und r2). Zuletzt nennen wir den Punkt (1/2,0), an dem die Gerade die x-Achse schneidet noch A und den Punkt (1,0), an dem sich s1, s2 und der Einheitskreis treffen, B.
Dann ist das Dreieck OAS_1 (bzw. OAS_2) kongruent zu BAS_1 (bzw. BAS_2), denn die beiden Dreiecke haben die Seite AS_1 (bzw. AS_2) gemeinsam, haben in A einen rechten Winkel und die Seite OA=AB, da OA = cos(x) = 1/2 und BA = 1-cos(x) = 1-1/2. Also sind die Seiten OS_1 (bzw. OS_2) und BS_1 (bzw. BS_2) gleich lang, da sie die zusammengehörigen Seiten zweier kongruenter Dreiecke sind. Damit sind aber die Seiten OS_1, OS_2, BS_1, BS_2 und OB alle gleich lang, da sie entweder Radien des Einheitskreises sind oder kongruent zu einem solchen Radius. Also haben wir zwei gleichseitige Dreiecke, von denen wir einen Innenwinkel bestimmen wollen. Alle gleichseitigen Dreiecke haben an allen Innenwinkeln den Winkel 60° bzw. pi/3. Also ist x=60°=pi/3 oder x=-60°=-pi/3.
$$\tan(x)=\sqrt 3$$ kannst du lösen, indem du dir in deiner vorherigen Skizze einfach eine Verlängerung des Radius' OS_1 einzeichnest, sodass er die senkrechte Gerade x=1 schneidet, nennen wir den Schnittpunkt S_3. Dann hast du wegen des rechten Winkels in B den Zusammenhang: $$BS_3=\sqrt{OS_3^2-OB^2}.$$ Was bringt uns das? Wir kennen schließlich OS_3 nicht. Aber mithilfe des Winkels im Ursprung können wir die Länge von OS_3 bestimmen, denn es gilt: $$\frac{OB}{OS_3}=\cos(60°)=\cos(\frac\pi3)=\frac12.$$
Umformen nach OS_3 ergibt, dass OS_3=2*1=2. Also gilt: $$BS_3=\tan(\frac \pi 3)=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt 3.$$
Also ist der Winkel, für den tan(x)=sqrt(3) gilt, der Winkel pi/3 bzw. 60°.
Beachte aber, dass für jede Lösung x des Cosinus auch 2pi+x, 4pi+x, ... Lösungen sind und für den Tangens sogar pi+x, 2pi+x, ... (auch negative Vielfache).
