filter extremalprobleme

Question

Ein Filter soll die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel besitzen. Der Zylinder soll 2 cm hoch sein. Die Mantellinie des Kegel soll √5 cm betragen. Der Zylinderradius r und die Kegelhöhe h können varriert werden. Wie müssen r und h gewählt werden, damit das Volumen des Filters maximal wird? 

Quelle: Mathematik Bigalke und Köhler

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Zur Kontrolle
h = 0.38
r = 2.2

Answer 1

Mantellinie des Kegels, Zylinderhöhe h und Radius r bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Mantellinie als Hypotenuse. Es gilt nach Pythagoras r²+h²=√5², also r²=5 - h².

Für das Gesamtvolumen V gilt

        V = 1/3·π·r²·h + 2·π·r².

Durch Einsetzen bekommt man

        V(h) = 1/3·π·(5 - h²)·h + 2·π·(5 - h²).

Berechne das Maximum von V(h).