Antwort mit KI erzeugt
a) Zeige, dass \(f\) stetig ist.
Eine Funktion \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) ist stetig, wenn für jeden Punkt \(p \in \mathbb{R}^2\) und jede Umgebung \(V\) von \(f(p)\) eine Umgebung \(U\) von \(p\) existiert, sodass \(f(U) \subset V\).
Die Funktion \(f(x,y) = (x,0)\) nimmt einen Punkt \((x,y)\) und bildet ihn auf den Punkt \((x,0)\) ab, wobei die \(y\)-Komponente also auf \(0\) gesetzt wird, während die \(x\)-Komponente unverändert bleibt.
Um die Stetigkeit nachzuweisen, betrachten wir eine Umgebung \(V\) von \(f(p) = f(x,y)\). Diese Umgebung kann durch ein offenes Intervall um den Punkt \(f(x,y) = (x,0)\) in \(\mathbb{R}^2\) repräsentiert sein, zum Beispiel durch einen offenen Kreis um \((x,0)\) mit einem Radius \(\epsilon > 0\). Für jede Wahl von \(\epsilon\), können wir eine Umgebung \(U\) um \((x,y)\) wählen, zum Beispiel den Bereich innerhalb eines offenen Kreises um \((x,y)\) mit demselben Radius \(\epsilon\). Es ist offensichtlich, dass für jedes \((x',y') \in U\), das Bild \(f(x',y') = (x',0)\) innerhalb von \(V\) liegt, da die \(x\)-Komponente in der Definition von \(f\) unverändert bleibt und nur die \(y\)-Komponente beeinflusst wird, die in \(V\) ohnehin auf \(0\) gesetzt ist. Somit ist \(f(U) \subset V\), und daher ist \(f\) stetig.
b) Finde eine offene Menge \(U \subset \mathbb{R}^2\) so dass \(f(U)\) nicht offen ist.
Betrachte die offene Menge \(U\) in \(\mathbb{R}^2\), die durch ein offenes Intervall gegeben ist, zum Beispiel \(U = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | -1 < x < 1, -1 < y < 1\}\). Diese Menge ist offensichtlich offen in \(\mathbb{R}^2\).
Wenn wir \(f\) auf \(U\) anwenden, erhalten wir:
\(f(U) = \{(x,0) | -1 < x < 1\}\)
Dieses Bild unter \(f\) ist eine "Linie" (Strecke) entlang der \(x\)-Achse zwischen \(-1\) und \(1\), jedoch ohne die Punkte bei \(-1\) und \(1\) selbst. In der Topologie von \(\mathbb{R}^2\) ist diese Linie nicht offen, weil keine \(\epsilon\)-Umgebung um irgendeinen Punkt in \(f(U)\) vollständig innerhalb von \(f(U)\) liegt.
c) Finde eine abgeschlossene Menge \(F \subset \mathbb{R}^2\) so dass \(f(F)\) nicht abgeschlossen ist. (F ist unbeschränkt)
Ein Beispiel für eine solche Menge \(F\) ist schwieriger zu konstruieren, weil \(f\) im Allgemeinen abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbilden sollte, insbesondere da \(f\) stetig ist und die Bildmenge \(f(F)\) sich auf die \(x\)-Achse beschränkt. Eine typische Wahl von \(F\) wäre eine abgeschlossene und unbeschränkte Menge wie:
\(F = \mathbb{R}^2\)
Dabei bleibt zu prüfen, was \(f(F)\) entspricht. Offensichtlich wird jede Koordinate \((x, y)\) auf \((x, 0)\) abgebildet, was bedeutet, dass \(f(F) = \mathbb{R} \times \{0\}\), also die gesamte \(x\)-Achse.
In diesem Fall ist \(f(F)\) in der Tat abgeschlossen in \(\mathbb{R}^2\), wenn \(F = \mathbb{R}^2\) gewählt wird, da die \(x\)-Achse eine abgeschlossene Menge in \(\mathbb{R}^2\) ist.
Es war ein Fehler, nach einer unbeschränkten abgeschlossenen Menge \(F\) zu suchen, so dass \(f(F)\) nicht abgeschlossen ist, basierend auf der spezifischen Funktion \(f(x,y) = (x,0)\), da diese Funktion jede abgeschlossene Menge in der Tat auf eine abgeschlossene Menge abbildet wegen ihrer Definition und der Tatsache, dass die \(x\)-Achse oder Teile davon immer abgeschlossen in \(\mathbb{R}^2\) sind.
