Funktionenschar f_(k)(x) = (x^2 - 1)*(x-k), k € R. k so wählen, dass Graph von f_(k) die x-Achse berührt.

Question

Ich bitte um den Rechenweg dieser Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar f_k mit \( f _ { k } ( x ) = \left( x ^ { 2 } - 1 \right) \cdot ( x - k ) , k \in \mathbb { R } \)
a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionsgraphen in zwei Punkten schneiden.
b) Bestimmen Sie k so, dass der Graph von f_k die x-Achse berührt.

Answer 1

das ist eine Lösung mit kaum Berechnungen. Ich weiss nicht, ob einige Annahmen noch gezeigt werden müssten.

$$ f(x)=(x^2-1)\cdot (x-k) $$

a)

Bestimmen der Nullstellen von f(x):

(x²-1)=0 oder (x-k)=0.

Nullstellen sind x₁=-1, x₂=1, x₃=k

daraus folgt, alle Graphen haben mindestens 2 Schnittpunkte, nämlich S1(-1/ 0) und S2 (1 / 0).

Es ist ja nicht gefragt: Zeigen Sie, dass sich die Graphen in genau zwei Punkten schneiden, dann müsste man noch zeigen, dass es keinen weiteren Schnittpunkt gibt (habe ich nicht überprüft).

b)

Damit eine Funktion 3. Grades die x-Achse berüht, muss sie exakt 2 Nullstellen haben, denn dann berührt ein Extremum die x-Achse. 

Eklärung:

Funktionen dritten Grades gehen von -∞ nach ∞ oder von ∞ nach -∞ . Daher gibt es eine ungerade Anzahl von x-Achsen-Durchgängen. Eine derartige Funktion hat auch 1-3 Nullstellen. Bei 2 Nullstellen, kann eine der Nullstellen also nur ein Extremum in dieser sein, da es sonst eine gerade Anzahl an x-Achsen-Durchgängen gäbe.

Daraus folgt: f(x) darf hier nur 2 Nullstellen habe, d.h. k=-1 oder k=1.