Konvergenz von Teilfolgen und Folge.

Question

Aufgabe:

Es sei eine Zahlenfolge (x_n)_n∈ℕ gegeben. Die durch a_n = x_2n , b_n = x_2n+1 und c_n = x_3n  gegebenen Zahlenfolgen ,

(a_n)_{n∈ℕ ,} (b_n)_{n∈ℕ  ,} (c_n)_n∈ℕ       seien konvergent. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Dann ist auch (x_n)_n∈ℕ  konvergent.

eigentlich sieht das für mich logisch aus. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das beweisen oder widerlegen soll. Wie geht man hier vor ?

EDIT(Lu). Begriff "rekursiv" aus der Überschrift entfernt.

Comments

Schau vielleicht mal hier: https://www.mathelounge.de/177226/folge-konvergiert-wenn-diese-teilfolgen-konvergieren-beweis

Answer 1

nehme an \(a_n \rightarrow a\) und \(b_n \rightarrow b\).

Zeige: \(a = b\).

Verwende dafür die Konvergenz von \(c_n\).

Folgere daraus, dass \(x_n\) konvergiert.

Gruß

Comments

wie soll ich zeigen, dass a = b ist ? Ich verstehe nicht, wieso das so sein soll.

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c_n besitzt zum Beispiel 2 Teilfolgen für die gilt, das die eine auch Teilfolge von a_n ist und die andere Teilfolge b_n ist. Wie war das nochmal mit Konvergenz von Folgen und Teilfolgen?

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Achso, du meinst, dass die Grenzwerte gleich sind. Okay, das kann ich nachvollziehen.Wie soll ich das am besten zeigen? Mit rekursiven Funktionen habe ich noch nie gearbeitet..

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Steht im Kommentar drüber. Hier ist überhaupt keine Rede von rekursiven Folgen.

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Wenn eine Folge gegen einen Wert konvergiert, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen den gleichen Wert.

cn besteht aus x3n  und an besteht aus x2n (Teilfolge von cn ) bn besteht aus x_2n+1(ebenfalls Teilfolge von cn)

Wenn cn laut der Aufgabe konvergent ist, gilt also für cn: cn -> c

Da an und bn Teilfolgen von cn sind, konvergieren diese beiden Folgen auch gegen c.

Aber wie ich beweise, dass xn an sich konvergiert, weiß ich nicht..

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\(a_n\) und \(b_n\) sind keine Teilfolgen von \(c_n\)!

Guck dir mal genau genau an wie \(x_n\) sich auf \(a_n\) und \(b_n\) verteilt. Die Argumentation, dass \(x_n\) auch gegen \(a=b=c\) konvergiert geht wieder über Teilfolgen.

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Xn verteilt sich auf an mit an = x2n ( also Faktor 2 ) , auf bn mit bn = x2n+1  (also Faktor 2 + 1 ) bn ist größer als an.

cn konvergiert gegen c , da aber cn aus x3n besteht , und x3n sich auf an und bn verteilt, sind x2n und x2n+1 Teilfolgen von x3n, somit konvergieren auch an und bn gegen c. Geht das so ?

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Soll ich die Schriftgröße ändern? \(a_n\) und \(b_n\) sind keine Teilfolgen von \(c_n\). Der ganze letzte Kommentar ist nicht richtig (Faktor 2+1 ?????).

\(a_n\) und \(b_n\) beschreiben doch alle geraden und ungeraden Folgenglieder von \(x_n\) und somit die ganze Folge \(x_n\). Da beide gegen denselben Grenzwert konvergieren muss auch \(x_n\) gegen diesen Wert konvergieren (falls nicht klar notfalls mit der Definition von Konvergenz nachprüfen).

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Es tut mir Leid, manchmal habe ich ein Brett vor dem Kopf. Achso okay, jetzt verstehe, was du sagen willst. Ja, das kann nachvollziehen. x2n und und x2n+1 konvergieren gegen den selben Grenzwert und da x2n und x2n+1 Teilfolgen von x3n sind, muss auch x3n gegen den gleichen Wert konvergieren.

Reicht das als Beweis ?

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\(a_n\) und \(b_n\) SIND KEINE TEILFOLGEN VON \(c_n\).    

\(x_{2n}\) und \(x_{2n+1}\) SIND KEINE TEILFOLGEN VON \(x_{3n}\).

Ließ dir meinen ersten Kommentar nochmal durch und diesmal bitte richtig und gründlich. Und nein das reicht nicht als Beweis weil das genauso falsch argumentiert ist wie in deinem Kommentar davor.

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Ich bin gerade echt durcheinander. Ich habe deinen ersten Kommentar gelesen. Aber bin echt gerade durcheinander.

also an = x2n ( sind alle geraden  Folgenglieder) bn = x2n+1 ( sind alle ungeraden Folgeglieder) und was haben diese Folgen jetzt mit cn = x3n zu tun ?

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\(a_n\) und \(c_n\) haben die gemeinsame Teilfolge \(x_{6n}\) und \(b_n\) und \(c_n\) haben die gemeinsame Teilfolge \(x_{6n+3}\).

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Wie sieht also der Grenzwert aus? an und cn müssen doch gegen den gleichen gehen, oder?

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Ja, genauso wie \(b_n\) und im Endeffekt \(x_n\) auch.

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Gut, das habe ich nun verstanden. Aber wie zeige ich diesen "im Endeffekt x_n auch" ? Das ist das Problem.

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Wie wäre es mit der Definition der Konvergenz. Aus den Voraussetzungen gilt: Für \(\varepsilon >0 \) gibt es \(K_a, K_b \in \mathbb{N} \), so dass

\(|x_{2n} - a | < \varepsilon\) für \(n \geq K_a\).

\(|x_{2n+1} - a| < \varepsilon\) für \(n \geq K_b\).

Was du nun zeigen musst ist, dass es ein \(N \in \mathbb{N}\) gibt, so dass

\(|x_n -a | < \varepsilon\) für \(n \geq N\).

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Mir fällt leider dazu nix ein, wie ich diese Ungleichung lösen könnte. Ich finde es einfach wirklich kompliziert und sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht. :(

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Sorry, aber ich denke du hast das mit der Konvergenz nicht richtig verstanden und hast deswegen Probleme. Du sollst die Ungleichung nicht "lösen" sondern die Eigenschaft beweisen.
Da jedes Folgenglied \(x_n\) in einer der beiden Teilfolgen \(x_{2n}\) und \(x_{2n+1}\) liegt, folgt durch Wahl von \(N = \max\{K_a, K_b\} \) die letzte Behauptung und somit konvergiert \(x_n\).

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Ja, ich muss mir das noch mal angucken. Muss viel üben bezüglich Konvergenz. Aber warum nur die beiden Teilfolgen x_2n und x_2n+1 , warum nicht x_3n ? Weil x_2n+1 das quasi schon "überdeckt" ?

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warum nicht x_3n ? 
Braucht du ja nicht, diese Teilfolge war nur dazu nötig zu zeigen, dass die Grenzwerte der anderen beiden Teilfolgen gleich sind.
 Weil x_2n+1 das quasi schon "überdeckt" ?
Nicht dein Ernst oder?

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Oh , ich habe mich verlesen :D Okay, ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.Ich danke dir für deine Geduld und Antworten. Vielen lieben Dank.