Ebenengleichung in R3 zeigen

Question

Ich soll zeigen, dass jede Gleichung n₁x+n₂y+n₃z=c mit (n1/n2/n3) ungleich (0/0/0) ist Gleichung einer Ebene im R3 mit Normalvektor n=(n1/n2/n3)

Ich hab mir folgendes überlegt: als erstes habe ich einen Punkt gesucht der diese Gleichung erfüllt also A=(c durch n1/0/0) --> n1*(c/n1)=c n1 ungleich 0, dann B=(0/c durch n2/0) und C=(0/0/c durch n3) also gibt es eine Punkt (p1/p2/p3) der diese Bedingung erfüllt und weil ich ja jede reelle Zahl als inneres Produkt von Vektoren schreiben kann und (x/y/z) jeder Punkt der Ebene ist folgt (n1/n2/n3)*(x/y/z)=(n1/n2/n3)*(p1*p2*p3) und dann ist ja der rechte Ausdruck gleich c

und ich hätte damit alles gezeigt oder würdet ihr etwas anderes machen?

Answer 1

Der Punkt P sei ein Punkt der Ebene.

X sei ein beliebiger Punkt im Raum.

Wir stellen den Richtungsvektor von P nach X auf

PX

Wenn X in der Ebene liegt, dann ist der Vektor PX senkrecht zum Normalenvektor N und damit ist das Kreuzprodukt 0.

PX * N = 0

Das wird jetzt nur ausmultipliziert

(X - P) * N = 0

X * N - P * N  = 0

X * N = P * N

Wenn nun X = [x, y, z] und N = [a, b, c] und P*N = d dann gilt eben

ax + by + cz = d