Ebenengleichung ablesen und erstellen

Question

Aufgabe

Die Aufgabe lautet: In Fig. 2 - Fig. 5 ist jeweils ein Ausschnitt einer Ebene gezeichnet. Bestimmen Sie für die Ebenen E1, E2, E3 und E4 jeweils eine Gleichung.

Figur 2. also E1 verstehe ich ja noch. Die anderen 3 verstehe ich aber ganz und gar nicht. Hier sind die Lösungen:

E2x= (4/0/0) + s (-4/6/0) + t (0/0/1)

E3x = (0/3/0) + s (1/0/0) + t (0/0/1)

E4x = (3/0/0) + s (-3/0/1) + t (0/1/0)

Hier ist das Bild:

https://www.gauthmath.com/solution/1803095036536837/5-In-Fig-2-Fig-5-ist-jeweils-ein-Ausschnitt-einer-Ebene-gezeichnet-Bestimmen-Sie

Meine Frage ist jetzt wie kommt man auf die E2, E3 und auf die E4 Gleichung

Bei E2 hatte ich nur die Punkte P (4/0/0) und Q (0/6/0). Sonst steht da ja keiner, also wie kommt man dann auf einen weiteren? Man weiss ja nicht wie hoch die Ebene ist also hatte ich nur A(4/0/?) und B (0/6/?)

Bei E3 hatte ich nur P (0/3/2) und Q (0/3/0) und ich dachte dann noch dass A (0/3/3) von der Zeichnung her hinkommen würde.

Answer 1

Um eine Parameterform der Ebene aufzustellen benötigst du nur drei Punkte, die in der Ebene liegen

Probier mal zu begründen warum folgende Punkte in der Ebene liegen und stelle mit den 3 Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

5.2) (3|0|0) ; (0|5|0) ; (0|0|4)

5.3) (4|0|0) ; (0|6|0) ; (4|0|1)

5.4) (0|3|0) ; (1|3|0) ; (0|3|1)

5.5) (3|0|0) ; (3|1|0) ; (0|0|1)

Es ist hier aber wesentlich leichter nicht die parameterform sondern die Achsenabschnittsform aufzustellen, weil man die Achsenabschnitte (Spurpunkte) und die Achsen die zur Ebene parallel sind ablesen kann.

5.2) x/3 + y/5 + z/4 = 1

5.3) x/4 + y/6 = 1

5.4) x/3 = 1

5.5) x/3 + z/1 = 1

Comments

Bei E2 hatte ich nur die Punkte P (4/0/0) und Q (0/6/0). Sonst steht da ja keiner, also wie kommt man dann auf einen weiteren? Man weiss ja nicht wie hoch die Ebene ist also hatte ich nur A(4/0/?) und B (0/6/?)

Das ist also soweit richtig. Da die Ebene beliebig hoch ist, kannst du für die Fragezeichen jede beliebige Zahl einsetzen. Man nimmt dann meist die Zweit-Einfachste aller Zahlen, die 1.

---

Bei E3 hatte ich nur P (0/3/2) und Q (0/3/0) und ich dachte dann noch dass A (0/3/3) von der Zeichnung her hinkommen würde.

Das ist soweit richtig. P und Q sind richtig. A liegt leider auf einer Geraden durch P und Q und liefert keinen weiteren Richtungsvektor. Aber du kannst von jedem Punkt ja parallel zur x-Achse gehen.

Alle Punkte der Form (x | 3 | z) liegen auf der Ebene. Also auch (1 | 3 | 0).

---

Alle Punkte der Form (x | 3 | z) liegen auf der Ebene. Also auch (1 | 3 | 0).

Woher weiss man das und wieso ist das so?

Da die Ebene beliebig hoch ist, kannst du für die Fragezeichen jede beliebige Zahl einsetzen.

wieso geht das bei E3 dann nicht? Könnte ich dann nicht auch sagen A(0/3/3) ? Und wieso darf ich die x2 Koordinate 3 nicht verändern?

---

5.5) (3|0|0) ; (3|1|0) ; (0|0|1)

(3/1/0) ist dann einfach ausgedacht? Weil es „rechts“ von (3/0/0) liegt? Würde dementsprechend auch (3/2/0) oder (3/3/0) gehen?

---

Alle Punkte der Form (x | 3 | z) liegen auf der Ebene. Also auch (1 | 3 | 0).
Woher weiss man das und wieso ist das so?

Du solltest sehen können, dass die Ebene parallel zur xz-Ebene des Koordinatensystems liegt und alle Punkte die y-Koordinate 3 haben.

Wie gesagt ist das Wichtigste, dass du ein paar Punkte benennen kannst. Damit sind vor allem Spurpunkte gemeint oder wenn die Ebene parallel zu Koordinatenachsen liegt, dass du dann auch diese Punkte beliebig verändern darfst.

Liegt die Ebene parallel zur z-Achse, dann kannst du von einem Punkt der Ebene die z-Koordinate beliebig verändern. Damit ist das weiterhin ein Punkt der Ebene.

E2: Da die Ebene beliebig hoch ist, kannst du für die Fragezeichen jede beliebige Zahl einsetzen.

wieso geht das bei E3 dann nicht? Könnte ich dann nicht auch sagen A(0/3/3) ?

Und wieso darf ich die x2 Koordinate 3 nicht verändern?

E2 liegt parallel zur z-Achse. Damit darf man von einem Punkt der Ebene die z-Koordinate beliebig verändern und es bleibt weiterhin ein Punkt der Ebene.

E3 liegt parallel zur x- und zur z-Achse. Damit darfst du von einem Punkt der Ebene sowohl die x, als auch die z-Koordinate verändern und es bleibt weiterhin ein Punkt der Ebene.

Wenn ich eine Koordinate veränder, zu denen die Ebene nicht parallel liegt, verlasse ich automatisch die Ebene.

Answer 2

E2 ist beispielsweise parallel zur \(z\)-Achse. Mit welchem Richtungsvektor lässt sich das beschreiben?

Beachte auch die besondere Lage der anderen Ebenen zu den Achsen.

Comments

Wie mit welchem RV lässt sich das beschreiben?