Könnte jemand meine Aufzeichnungen kontrollieren, und ggf. Verbessern?

Question

Hab heute in der Übung ein bisschen hinterher gehangen, und wollte Fragen, ob meine Übungen Richtig sind. Aufgabe war:

♦Beschreiben Sie für jede der folgenden Bedingungen die Menge der reellen Folgen, die diese Eigenschaft erfüllen, mit wenigen Worten.

Begriffe die erwähnt werden sollen: „konvergiert“, „divergiert“, „ist Nullfolge“, „ist (nach oben/ nach unten) beschränkt/ unbeschränkt“, „ab einem gewissen Glied konstant“. ♦

(a) ∀ε > 0 ∃ n₀ ∈ ℕ ∀ n ≥ n₀ : |a_n| < ε

Hier zu habe ich geschrieben: "ε soll auf jeden Fall größer als 0, aber kleiner als  |a_n| sein, wodurch alles zusammen nach 0 konvergiert, und somit kommen für diese Aussage nur Nullfolgen in Frage."

(b) ∃ n₀ ∈ ℕ ∀ ε > 0 ∀ n ≥ n₀ : |b_n| < ε

Hier zu habe ich geschrieben:  "Dieser Ausdruck ist ab einem gewissen Glied Konstant und Konvergiert gen Null (Nullfolge)."

(c) ∀ n₀ ∈ ℕ ∃ ε > 0 ∀ n ≥ n₀ : |c_n| < ε

Hier zu habe ich geschrieben: "Dieser Ausdruck beschreibt einen ε-Schlauch, in dem irgendwann die Folge 'gefangen' ist, und somit beschreit diese Aussage beschränkte Folgen."

(f) ∃ ε > 0 ∀ n₀ ∈ ℕ ∃ n ≥ n₀ : | f_n| > ε

Hier zu habe ich geschrieben: "Der Ausdruck zeigt, das die Folge eine Beschränkte Folge ist"

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Zu den anderen habe ich nichts geschrieben :(

(d) ∃ n₀ ∈ℕ ∀ n ≥ n₀ ∃ ε > 0 : |d_n| < ε

(e) ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ ℕ ∃ n ≥ n₀ : |e_n| > ε

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Ich wäre Froh wenn ihr Ergänzungen habt, oder Fehler bei mir entdecken würdet, und mir dann schreiben könntet ^^

Mit lieben Grüßen

Answer 1

(d) wird von jeder Folge erfüllt, z.B. durch Wahl von n₀ = 1 und ε = |d_n|+1.

(e) divergiert.

(f) muss nicht beschränkt sein.

Comments

wie meinst du das bei d) und f)?

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d) Was verstehst du nicht?

f) Die Folge (f_n)_n∈ℕ mit f_n=n ∀n∈ℕ erfüllt ∃ ε > 0 ∀ n₀ ∈ ℕ ∃ n ≥ n₀ : | f_n| > ε ist aber nicht beschränkt.