Via (x+y)^n beweisen, dass (n tief k) = n!/(k!(n-k)!). Vollständige Induktion.

Question

folgendes soll per vollständiger Induktion bewiesen werden:

(n) = n! / (k!(n-k)!)
(k)

Brauche Hilfe :-/

EDIT(Lu): Kopie aus Kommentar.

Für natürliche Zahlen gilt 0 kleiner gleich k kleiner gleich n sind die Binomialkoeffizient n über k definiert als die Koeffizienten des Polynoms

(x+y)ⁿ  

_{= ∑ von k=0 bis n für (n über k) * x^k * y^n-k}

Die Aufgabe soll per Induktion gelöst werden.

Das sind alle Informationen..

Comments

Wie habt ihr \(\binom{n}{k} \) definiert?

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Genauso wie die rechte Seite.. also als n! / (k!(n-k)!)

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Wo liegt der Sinn darin eine Definition zu beweisen?

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Keine Ahnung.

Es steht da:
"die Koeffizienten n über k sind natürliche Zahlen gegeben durch n über k = n!/(k!(n-k)!)"

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Und wo ist der Rest der Aufgabe. Was soll gezeigt werden? Dass es natürliche Zahlen sind? Stell doch mal die komplette Aufgabenstellung rein.

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Für natürliche Zahlen gilt 0 kleiner gleich k kleiner gleich n sind die Binomialkoeffizient n über k definiert als die Koeffizienten des Polynoms

(x+y)ⁿ  

_{= ∑ von k=0 bis n für (n über k) * x^{k} * y^{n-k}}

Die Aufgabe soll per Induktion gelöst werden.

Das sind alle Informationen..

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Ich hoffe du merkst, dass das ein riesen Unterschied zu dem ist, was du ursprünglich geschrieben hast. Das ist der binomische Lehrsatz. Einen Beweis kannst du schnell mit der Suchmaschine deiner Wahl finden.

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Also soll ich den binomischen Lehrsatz für

(n) = n! / (k!(n-k)!)
(k)

zeigen? Dies ist ja die eigentliche Aufgabe (Bzw. Teilaufgabe)...

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Also zuerst kommt der genannte Text und dann die Aufgabe

(n) = n! / (k!(n-k)!)
(k)

^^

Answer 1

Was du zeigen sollst ist, dass die Koeffizienten von (x+y)^n sich genau nach der

Formel  n! / (k!(n-k)!) berechnen lassen.  Und nebenbei bekommst du

noch erklärt, dass man diese auch als  " n über k" bezeichnet.

Also machst du vollst. Ind. 

für n=1 ist es klar

und wenn du die Koeffizienten von (x+y)^n hast ,

dann bestiummst du damit die von (x+y)ⁿ⁺¹   und zeigst,

dass diese dann auch   (n+1)! / (k!(n+1-k)!)

entsprechen.