Grenzwert der Folge (a_(n)) berechnen. an=√n (√(n+1) -√n)

Question

Hallo :)

Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann, da ich leider keinen Ansatz habe. :/

Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a_n)_n∈ℕ

a_n=√n (√(n+1) -√n)

Comments

Arbeite mal mit dem Trick (3. Binom) hier:

https://www.mathelounge.de/288597/grenzwert-einer-folge-mit-wurzeln-berechnen-an-√-17·2-n-1-−-√n

Answer 1

an = √n·(√(n + 1) - √n)

an = √n·(√(n + 1) - √n)·(√(n + 1) + √n) / (√(n + 1) + √n)

an = √n / (√(n + 1) + √n)

an = 1 / (√(n + 1)/√n + 1)

Jetzt kann man den Grenzwert ablesen.

Comments

Kannst du bitte kurz erläutern warum du das machst?

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Warum? Das ist ein Trick, den du immer brauchen kannst, wenn du Differenzen von Wurzeln hast, mit denen du nicht recht weisst, wie die sich zusammen verhalten.

Oft ist dann (wie hier) sofort alles klar.

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Bei mir ist leider grade nichts klar :( ich weiß zwar was du da tust, aber nicht wie :/

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an = √n·(√(n + 1) - √n) 

Man hat ja hier einen Grenzwert vom Typ ∞ * 0 der leider nicht definiert ist. Daher muß man den Term vereinfachen. Es bietet sich hier an gemäß der 3. Binomischen Formel zu erweitern, damit man die Wurzeln in der Klammer wegbekommt.

Also wenn du die Summe oder Differenz von Wurzeltermen hast kann man mal überlegen ob die 3. binomische Formel etwas bringt.

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Ahhh.. ok, jetzt hab ich es :) Danke :)