Exponentielles Wachstum: Rattenalarm in Berlin

Question

Aufgabe:

In seinem Spiegel-Bestseller "Der König von Berlin" beschreibt Horst Evers das Wachstum der Berliner Rattenpopulation nach dem Tod des Chef-Kammerjägers:

Die Zahl der Rattenalarme wird sich fünfzehn Tage nach seinem Tod verdoppeln. [...] Nach 24 Tagen sollte sie sich verdreifachen. [...] Nach 35 Tagen verfünffachen, [...] und gestern hat sie sich verzehnfacht. [...] nach genau fünfundfünzig Tagen werden die Ratten ihren Angriff auf Berlin starten. (Zahlenwerte geïndert)

(a) Skizzieren Sie die Anzahl der Rattenalarme als Funktion der Zeit. Gehen Sie von 100 Rattenalarmen pro Tag bei \( t=0 \) aus.

(b) Nehmen Sie an, dass die Anzahl der Rattenalarme exponentiell wächst. Erstellen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Rattenalarme als Funktion der Zeit.

(c) Wie viele Rattenalarme gibt es voraussichtlich am Tag des Angriffs?

(d) Vor wie vielen Tagen ist der Chef-Kammerjäger gestorben?

Meine Überlegungen:
15 Tage: 2x
24 Tage: 3x
35 Tage: 5x
xx Tage: 10x
55 Tage: ?x

Beginn bei 100 Ratten≡t=0

$${ e }^{ 0 }=1\equiv (100\quad Ratten)\\ { e }^{ 1 }\approx 2,7\equiv (270\quad Ratten)\\ { e }^{ 3 }\approx 20,08\equiv (2008\quad Ratten)\\ { e }^{ 5 }\approx 148,41\equiv (14841\quad Ratten)\\ { e }^{ 10 }\approx 22026,46\equiv (2202647\quad Ratten)\\ \\ x(t)={ x }_{ 0 }\cdot { e }^{ t }\\ $$

Es gibt 2202647 Rattenalarme und der Chef Kammerjäger müsste vor 55 Tagen verstorben sein (oder wenn falsch, zwischen 40-55 Tagen).



Ist das richtig?

Answer 1

Gesucht ist eine Exponentionalfunktion
Dies muß nicht unbedingt eine e-Funktion sein.

15 Tage: 2x
24 Tage: 3x
35 Tage: 5x
xx Tage: 10x
55 Tage: ?x

f^15 = 2
f^24 = 3
f^35 = 5

f hoch (15 hoch 1/15 ) = f = 2^{1/25} = 1.0473
f hoch (24 hoch 1/24 ) = f = 3^{1/24} = 1.0468
f hoch (35 hoch 1/35 ) = f = 5^{1/35} = 1.0471

Nehmen wir für f = 1.047

Alarrme ( 0 ) = 100 * f^0
Alarme ( t ) = 100 * 1.047^t

Wenn du als Basis e haben willst
1.047^t =e^{k*t};  | ln
t * ln(1.047) = k * t
k = ln(1.047)
k = 0.04593

1.047^t = e^{0.04593*t}

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Comments

Vielen Dank für Deine schnelle Unterstützung! Ich habe eine neue Skizze entworfen und die restlichen Lösungen errechnet. Am Tag des Angriffs (55. Tag) werden etwa 1250 Ratten Berlin befallen. In 50 Tagen hat sich die Rattenpopulation verzehnfacht und heute vor 51 Tagen ist der Chef-Kammerjäger verstorben und somit werden wir in 4 Tagen die Ratteninvasion in Berlin erleben. ;-)

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Danke und gern geschehen.
Deine weiteren Schlußfolgerungen kann ich auch bestätigen.